Какое значение производной функции f(x)=2x*sinx-1 в точке x0=п/4?

Елизавета_7064

51

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом для нахождения значения производной функции в точке \(x_0 = \frac{\pi}{4}\).

1. Начнем с того, что у нас есть функция \(f(x) = 2x \cdot \sin(x) - 1\), а мы хотим найти производную этой функции в точке \(x_0 = \frac{\pi}{4}\).

2. Для начала, посчитаем производную функции \(f(x)\) по правилу производной произведения и суммы. Правило производной произведения гласит: если \(h(x) = u(x) \cdot v(x)\), то \(h"(x) = u"(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v"(x)\).

Применим это правило к нашей функции. Обозначим \(u(x) = 2x\) и \(v(x) = \sin(x)\). Тогда производная функции \(f(x)\) равна:
\[f"(x) = (2x)" \cdot \sin(x) + 2x \cdot (\sin(x))"\]

3. Вычислим производные \(u"(x)\) и \((\sin(x))"\). Производная \(u"(x)\) будет равна производной от \(2x\), что равно просто 2.

А производная \((\sin(x))"\) равна производной от синуса, то есть \(\cos(x)\).

Подставим значения производных в формулу из пункта 2:
\[f"(x) = 2 \cdot \sin(x) + 2x \cdot \cos(x)\]

4. Теперь нам нужно найти значение производной в точке \(x_0 = \frac{\pi}{4}\). Для этого подставим \(x = \frac{\pi}{4}\) в формулу из пункта 3:
\[f"\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\]

5. Посчитаем значения синуса и косинуса для \(\frac{\pi}{4}\):
\(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Подставим эти значения в формулу из пункта 4:
\[f"\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

6. Упростим выражение:
\[f"\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} + \frac{\pi \sqrt{2}}{4}\]

Таким образом, значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) равно \(\sqrt{2} + \frac{\pi \sqrt{2}}{4}\).