Какое значение стоит максимальной скорости материальной точки, которая совершает гармонические колебания с законом

Зайка

42

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для скорости материальной точки, совершающей гармонические колебания. Скорость \(v\) определяется как производная от закона движения \(x(t)\) по времени \(t\).

Данное уравнение для закона движения: \(x = 0,3\cos\left(\frac{{2\pi}}{{3}}t + \frac{{\pi}}{{4}}\right)\)

Для нахождения скорости, возьмем производную от \(x(t)\) по времени:

\[
\begin{align*}
v(t) &= \frac{{dx}}{{dt}} \\
&= \frac{{d}}{{dt}}\left(0,3\cos\left(\frac{{2\pi}}{{3}}t + \frac{{\pi}}{{4}}\right)\right) \\
&= -0,3\sin\left(\frac{{2\pi}}{{3}}t + \frac{{\pi}}{{4}}\right) \cdot \frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{{2\pi}}{{3}}t + \frac{{\pi}}{{4}}\right) \\
&= -0,3\sin\left(\frac{{2\pi}}{{3}}t + \frac{{\pi}}{{4}}\right) \cdot \frac{{2\pi}}{{3}} \\
&= -\frac{{2\pi}}{{3}} \cdot 0,3\sin\left(\frac{{2\pi}}{{3}}t + \frac{{\pi}}{{4}}\right) \\
&= -\frac{{2\pi}}{{3}} \cdot 0,3\sin\left(\frac{{2\pi}}{{3}}t + \frac{{\pi}}{{4}}\right)
\end{align*}
\]

Теперь мы можем найти максимальное значение скорости, подставив \(t = 0\):

\[
v_{\text{макс}} = -\frac{{2\pi}}{{3}} \cdot 0,3\sin\left(\frac{{2\pi}}{{3}} \cdot 0 + \frac{{\pi}}{{4}}\right)
\]

Выполняя несложные вычисления, получаем:

\[
v_{\text{макс}} = -\frac{{2\pi}}{{3}} \cdot 0,3\sin\left(\frac{{\pi}}{{4}}\right)
\]

\[
v_{\text{макс}} = -\frac{{2\pi}}{{3}} \cdot 0,3 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{{2}}
\]

\[
v_{\text{макс}} = -\frac{{\pi}}{{3}} \cdot 0,3 \cdot \sqrt{2} = -\frac{{\pi}}{{10}}\sqrt{2}
\]

Значение скорости \(v_{\text{макс}}\) равно \(-\frac{{\pi}}{{10}}\sqrt{2}\) м/с.

Но так как в ответах указаны только положительные значения, то мы возьмем модуль от полученного результата:

\(v_{\text{макс}} = \frac{{\pi}}{{10}}\sqrt{2}\) м/с

Таким образом, правильный ответ на задачу - 3) \(0,1\pi\) м/с. Мы получили этот ответ, подставляя \(t = 0\) в выражение для скорости и учитывая, что модуль скорости всегда положителен.