Какое значение x у точки c1 (x; -8), которая является образом точки c(5; y) при гомотетии с центром h (-3

Akula

61

Дано, что точка C1(x; -8) является образом точки C(5; y) при гомотетии с центром в точке H(-3; 1) и коэффициентом k = -1/4. Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулы гомотетии.

Формула для гомотетии:
\[
\overline{OC1} = k \cdot \overline{OC}
\]

Где:
- \(\overline{OC1}\) - вектор, указывающий на точку C1(x; -8)
- \(\overline{OC}\) - вектор, указывающий на точку C(5; y)
- k - коэффициент гомотетии

Давайте рассчитаем вектор \(\overline{OC}\) и затем вектор \(\overline{OC1}\).

Вектор \(\overline{OC}\):
\(\overline{OC} = \begin{pmatrix} 5 \\ y \end{pmatrix}\)

Теперь рассчитаем вектор \(\overline{OC1}\):
\(\overline{OC1} = k \cdot \overline{OC}\)
\(\overline{OC1} = -\frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ y \end{pmatrix}\)

Теперь у нас есть вектор \(\overline{OC1}\), который указывает на точку C1(x; -8). По условию задачи, координата y точки C равняется -8, поэтому вектор \(\overline{OC}\) примет следующий вид:
\(\overline{OC} = \begin{pmatrix} 5 \\ -8 \end{pmatrix}\)

Подставим эти значения в формулу для вектора \(\overline{OC1}\):
\(-\frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -8 \end{pmatrix}\)

Раскроем скобки и решим уравнение:
\(\begin{pmatrix} -\frac{5}{4} \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -8 \end{pmatrix}\)

Отбросим векторные скобки и получим систему уравнений:
\(-\frac{5}{4} = x\)
2 = -8

Отсюда видно, что x = -\(\frac{5}{4}\). Значение x для точки C1 равно -\(\frac{5}{4}\).