Уравнение окружности и прямой (9 класс, контрольная работа №2) Первый вариант: 1) Какие координаты центра и радиус

Гроза

41

1) Для начала, давайте найдем координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением \(x^2 + y^2 + 4x - 10y = 24\).

Чтобы найти координаты центра окружности, нужно переписать уравнение у окружности в канонической форме. В этой форме уравнение будет иметь вид \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Начнем с преобразования уравнения:

\[x^2 + y^2 + 4x - 10y = 24\]
\[x^2 + 4x + y^2 - 10y = 24\]

Для завершения квадратов распишем члены \(4x\) и \(-10y\) в виде суммы членов, содержащих квадратные выражения:

\[x^2 + 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 24 + 4 + 25\]

Сократим:

\[(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 53\]

Таким образом, мы получили уравнение окружности в канонической форме. Значит, координаты центра окружности равны \((-2, 5)\), а радиус окружности равен \(\sqrt{53}\).

2) Теперь рассмотрим точки \(A(-1, 6)\), \(B(3, 2)\) и \(C(4, 0)\) и проверим, принадлежат ли они данной окружности.

Для этого подставим координаты каждой точки в уравнение окружности и посмотрим, выполняется ли равенство:

Для точки \(A(-1, 6)\):
\((-1 + 2)^2 + (6 - 5)^2 = 1 + 1 = 2 \neq 53\)

Для точки \(B(3, 2)\):
\((3 + 2)^2 + (2 - 5)^2 = 25 + 9 = 34 \neq 53\)

Для точки \(C(4, 0)\):
\((4 + 2)^2 + (0 - 5)^2 = 36 + 25 = 61 \neq 53\)

Таким образом, точки \(A(-1, 6)\), \(B(3, 2)\) и \(C(4, 0)\) не принадлежат данной окружности.

3) Теперь нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через концы диаметра окружности \(A(-6, 1)\) и \(B(0, 5)\), параллельно оси абсцисс.

Для этого воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\):

\[y - y_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)\]

Подставляя значения из нашего примера, получим:

\[y - 1 = \dfrac{5 - 1}{0 - (-6)}(x - (-6))\]
\[y - 1 = \dfrac{4}{6}(x + 6)\]
\[y - 1 = \dfrac{2}{3}(x + 6)\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через концы диаметра окружности \(A(-6, 1)\) и \(B(0, 5)\), параллельно оси абсцисс, будет иметь вид \(y - 1 = \dfrac{2}{3}(x + 6)\).

Чтобы составить уравнение окружности, нам понадобится знать её радиус и координаты центра. Мы уже вычислили, что координаты центра равны \((-2, 5)\), а радиус равен \(\sqrt{53}\).

Теперь воспользуемся общим уравнением окружности:

\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Подставляя значения из нашего примера, получим:

\((x - (-2))^2 + (y - 5)^2 = (\sqrt{53})^2\)
\((x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 53\)

Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид \((x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 53\).

Теперь осталось проверить, является ли уравнение \(x^2 + y^2 + 4x - 10y = 24\) уравнением окружности, а также сверить наше решение с вариантом №2.