Каков будет диаметр круга, освещенного на поверхности воды точечным источником света, если источник находится

Добрый_Ангел

56

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся принципом преломления света.

Когда свет проходит из одной среды в другую, он меняет направление своего распространения. Это явление называется преломлением света. В данной задаче свет распространяется из воды в воздух.

При преломлении света возникает так называемый закон Снеллиуса, который гласит:

\[\dfrac{n_1}{n_2} = \dfrac{\sin(\theta_2)}{\sin(\theta_1)}\]

Где:
- \(n_1\) и \(n_2\) - показатели преломления первой и второй среды соответственно.
- \(\theta_1\) и \(\theta_2\) - углы между перпендикуляром к границе раздела сред и направлением луча света в первой и второй среде соответственно.

Для воды показатель преломления \(n_1\) равен около 1.33, а для воздуха \(n_2\) равен примерно 1.00.

Теперь рассмотрим схему освещения круга на поверхности воды:

\ ,
\ ,
\ ,
р\ ,,
| \ т,
| \ и,
| r\ о,
гъ---\---к\.
v

где г - глубина водоема, т - точечный источник света, ик - круг на поверхности воды, освещенный данным источником.

Нам нужно найти диаметр круга ик.

Давайте рассмотрим треугольник ипг:

\ ,
\ ,
\ ,
р\,,,k.
| \ т ,
| \ ,
| r\
г_--я\.-> в

Мы знаем, что угол преломления равен углу погружения, то есть \(\theta_2 = \theta_1\).

Также у нас есть равенство \(\angle k = 90°\), так как круг ик находится на поверхности воды, которая всегда перпендикулярна направлению света.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ршг:

в
,,г---------------------\
,,,т | \ ,
, . | \ ,
г-----|-я\--я\.\ \ р
| \ \ ,т
| r\ \ и
| ,,,,k\ \ о
\ \ \ ,
\ \ \ ,
\ \ \ ,
\ р\ \ ,
\,,,,,\яв.

Угол \(\angle rgт\) является прямым, поскольку луч света направлен перпендикулярно поверхности воды.

Из треугольника ршг, мы можем найти длину отрезка гр, что соответствует глубине водоема:

\(\sin(\angle р) = \dfrac{h}{r} \Rightarrow h = r \cdot \sin(\angle р)\)

где:
- \(h\) - глубина водоема
- \(r\) - радиус окружности воды

Теперь давайте рассмотрим треугольник ртг:

в
и,,г---------------------\
о, | \ r
,,,т . | \ ,
, . | \ ,
г--------р_\-._\ ,т
r \ и
о ]\_---> к
\ \
\ \,
\ .

Мы видим, что угол \(rtг\) является прямым углом, так как свет направлен перпендикулярно поверхности воды.

Из треугольника ртг, можно найти \(\angle кт\) используя теорему Пифагора:

\(\sin(90° - \angle кт) = \dfrac{\frac{d}{2}}{r} \Rightarrow \sin(\angle кт) = \dfrac{\frac{d}{2}}{r} \Rightarrow \angle кт = \arcsin\left(\dfrac{\frac{d}{2}}{r}\right) \)

где:
- \(d\) - диаметр окружности воды

Теперь у нас есть два уравнения:

\[\begin{cases}
h = r \cdot \sin(\angle р) \\
\angle кт = \arcsin\left(\dfrac{\frac{d}{2}}{r}\right)
\end{cases}\]

Используя первое уравнение, мы можем найти \(\sin(\angle р)\):

\[\sin(\angle р) = \dfrac{h}{r}\]

Подставим значение \(\sin(\angle р)\) во второе уравнение:

\[\angle кт = \arcsin\left(\dfrac{\frac{d}{2}}{r}\right)\]

Таким образом, мы получаем уравнение, которое связывает диаметр окружности и глубину водоема:

\[\angle кт = \arcsin\left(\dfrac{\frac{d}{2}}{r}\right)\]

Теперь, мы можем решить это уравнение относительно \(d\):

\[d = 2 \cdot \sin(\angle кт) \cdot r\]

Таким образом, диаметр круга освещения на поверхности воды равен:

\[d = 2 \cdot \sin(\angle кт) \cdot r\]

Подставив значения переменных, мы сможем получить ответ.