Каков будет эффект на период колебаний груза на пружине при уменьшении массы груза в два раза?

Voda

41

Для того чтобы понять, как изменится период колебаний груза на пружине при уменьшении массы в два раза, давайте рассмотрим основное уравнение колебаний на пружине. Оно выглядит следующим образом:

\[
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
\]

Где:
\(T\) - период колебаний,
\(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14159,
\(m\) - масса груза,
\(k\) - коэффициент упругости (или жесткость) пружины.

Теперь, перед тем как продолжить, давайте разберемся с физическим смыслом этого уравнения. Выражение \(\sqrt{\frac{m}{k}}\) представляет собой силу, которая уравновешивает гравитационную силу на груз. Видно, что период колебаний пропорционален корню отношения массы к коэффициенту упругости пружины.

Теперь, когда мы разобрались с уравнением, рассмотрим, как изменится период колебаний при уменьшении массы груза в два раза.

Пусть исходная масса груза равна \(m_1\), а его период колебаний равен \(T_1\). Тогда по уравнению:

\[
T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}
\]

Теперь предположим, что мы уменьшили массу груза в два раза, то есть новая масса груза равна \(\frac{m_1}{2}\). Обозначим новый период колебаний через \(T_2\). Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[
T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1/2}{k}}
\]

Теперь выразим это уравнение через \(T_1\):

\[
T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{2k}} = \sqrt{2\pi^2\frac{m_1}{k}} = \sqrt{2}\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}} = \sqrt{2}T_1
\]

Таким образом, когда мы уменьшаем массу груза в два раза, период колебаний изменяется пропорционально корню из 2. То есть, новый период колебаний будет примерно в 1,414 раза меньше (\(\sqrt{2} \approx 1,414\)) исходного периода.

Это означает, что груз будет осуществлять большее количество колебаний за единицу времени, так как период колебаний уменьшился.