Якою є ємність конденсатора в колі змінного струму стандартної частоти 50 Гц, де діюче значення сили струму становить

Александра

12

Щоб визначити ємність конденсатора в колі змінного струму, потрібно врахувати співвідношення між напругою і струмом у змінному колі.

Згідно з законом Ома, напруга \( U \) на конденсаторі в змінному колі залежить від струму \( I \) та ємності \( C \) згідно наступного співвідношення:

\[ U = \frac{1}{C} \int_{}^{} I \, dt \]

Перетворюючи це рівняння, ми можемо отримати вираз для ємності конденсатора:

\[ C = \frac{1}{\int_{}^{} \frac{I}{U} \, dt} \]

Знайдемо співвідношення між струмом і напругою в змінному колі. У змінному колі, форма напруги \( U \) і струму \( I \) є синусоїдальною:

\[ U = U_m \sin(\omega t) \]
\[ I = I_m \sin(\omega t + \phi) \]

де \( U_m \) - амплітуда напруги, \( I_m \) - амплітуда струму, \( \omega \) - кругова частота, \( t \) - час, \( \phi \) - фазовий кут.

Підставимо ці значення в співвідношення:

\[ C = \frac{1}{\int_{}^{} \frac{I}{U} \, dt} = \frac{1}{\int_{}^{} \frac{I_m \sin(\omega t + \phi)}{U_m \sin(\omega t)} \, dt} \]

Ми бачимо, що значення кута \( \omega t \) знімаються при інтегруванні через повні оберти (360 градусів) функції синуса. Отже, для спрощення обчислень піднятимо фазовий кут \( \phi \) до такого значення, при якому \( \omega t + \phi = 0 \) на початку області інтегрування. Таким чином, фазовий кут буде рівним нулю:

\[ C = \frac{1}{\int_{}^{} \frac{I_m \sin(\omega t + 0)}{U_m \sin(\omega t)} \, dt} \]

Розглянемо підінтегральну функцію:

\[ \frac{I_m \sin(\omega t)}{U_m \sin(\omega t)} \]

В цьому виразі, функція синуса знімається, отже:

\[ C = \frac{1}{\int_{}^{} \frac{I_m}{U_m} \, dt} \]

Взявши до уваги, що частота стандартного змінного струму 50 Гц ( \( \omega = 2 \pi f \) ), ми зведемо інтеграл до простого виразу:

\[ C = \frac{1}{\frac{I_m}{U_m} \int_{}^{} dt} = \frac{1}{\frac{I_m}{U_m} \cdot t} \]

Основним для нас значенням струму є діюче значення \( I_m \), яке становить 5 А. Також ми знаємо, що в змінному колі діюче значення напруги \( U_m \) є важливим, воно може бути зміненим. Ми не володіємо інформацією про час \( t \), тому поки що залишимо його невизначеним параметром:

\[ C = \frac{1}{\frac{5}{U_m} \cdot t} = \frac{U_m}{5t} \]

Окремо відмітимо, що одиниці часу визначаються набором умов, котрі треба зазначити для задачі. У цьому випадку одиницею часу ми згадаємо, що період зміни струму є величиною \( T = \frac{1}{f} \), де \( f \) - частота, і ми позначимо час через цей період:

\[ t = T \]

Підставимо \( t \) в наше рівняння:

\[ C = \frac{U_m}{5T} \]

Отже, ємність конденсатора в колі змінного струму становить \( \frac{U_m}{5T} \), де \( U_m \) - амплітуда напруги, \( T \) - період зміни струму.