Каков действующий на цилиндр момент сил М в определенный момент времени, если цилиндр имеет тонкую стенку, диаметр

Vesna

27

Для определения действующего на цилиндр момента сил \(M\) в определенный момент времени, мы можем использовать уравнение Эйлера для вращения твердого тела:

\[M = I \cdot \alpha\]

где \(I\) - момент инерции цилиндра, а \(\alpha\) - угловое ускорение.

Для начала найдем момент инерции цилиндра. Момент инерции цилиндра с тонкой стенкой вокруг своей оси, проходящей через его центр масс, можно вычислить с использованием следующей формулы:

\[I = \frac{1}{4} m D^2\]

где \(m\) - масса цилиндра, а \(D\) - диаметр его основания.

Подставляя заданные значения, получаем:

\[I = \frac{1}{4} \cdot 12 \, \text{кг} \cdot (0,3 \, \text{м})^2\]

\[I = \frac{1}{4} \cdot 12 \, \text{кг} \cdot 0,09 \, \text{м}^2\]

\[I = 0,36 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Теперь, чтобы найти угловое ускорение \(\alpha\), мы можем продифференцировать данный угловой положения \(\varphi\) по времени \(t\):

\[\alpha = \frac{d^2 \varphi}{dt^2}\]

\[\alpha = \frac{d^2}{dt^2} (A + Bt + Ct^3)\]

\[\alpha = \frac{d}{dt} (B + 3Ct^2)\]

\[\alpha = 6Ct\]

Подставляя значения коэффициента \(C\), получаем:

\[\alpha = 6 \cdot 0,2 \, \frac{\text{рад}}{\text{с}^3} \cdot t\]

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для вычисления момента сил \(M\). Подставляем выражения для момента инерции \(I\) и углового ускорения \(\alpha\) в уравнение \(M = I \cdot \alpha\):

\[M = 0,36 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot 6 \cdot 0,2 \, \frac{\text{рад}}{\text{с}^3} \cdot t\]

\[M = 0,432 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \frac{\text{рад}}{\text{с}^3} \cdot t\]

Таким образом, действующий на цилиндр момент сил \(M\) в определенный момент времени выражается формулой:

\[M = 0,432 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \frac{\text{рад}}{\text{с}^3} \cdot t\]

Будет полезно заметить, что данное уравнение показывает, что момент силы \(M\) пропорционален времени \(t\).