Каков диаметр тени диска и во сколько раз площадь тени больше площади диска, если точечный источник света освещает

Maksimovich

31

Для решения данной задачи воспользуемся геометрическими соотношениями и свойствами подобных треугольников.

Обозначим радиус диска как \(R\), а диаметр тени как \(d\). Также обозначим расстояние от источника до диска как \(x\) и расстояние от диска до экрана как \(y\).

По условию, известно, что расстояние от источника до диска в 4,5 раза меньше, чем расстояние от диска до экрана:

\[x = \frac{1}{4.5} \cdot y = \frac{2}{9} \cdot y\]

Теперь рассмотрим треугольник, образованный источником света, центром диска и точкой на экране, где видна тень. Данный треугольник подобен треугольнику, образованному центром диска, точкой на его окружности и центром тени.

Отношение сторон подобных треугольников равно. Поэтому:

\[\frac{R}{x} = \frac{d}{y}\]

Подставляя выражение для \(x\), получаем:

\[\frac{R}{\frac{2}{9} \cdot y} = \frac{d}{y}\]

Упрощая это выражение, получаем:

\[\frac{9R}{2y} = \frac{d}{y}\]

Умножая обе части на \(2y\), получаем:

\[9R = 2d\]

Теперь можем выразить \(d\) через \(R\):

\[d = \frac{9R}{2}\]

Диаметр тени равен \(\frac{9}{2}\) раза диаметру диска.

Для расчета отношения площадей пользуемся тем, что площадь тени пропорциональна квадрату диаметра тени, а площадь диска пропорциональна квадрату его радиуса.

Отношение площадей можно найти следующим образом:

\[\frac{\text{Площадь тени}}{\text{Площадь диска}} = \left( \frac{\text{Диаметр тени}}{\text{Диаметр диска}} \right)^2\]

Подставляя значения для диаметра тени и диска, получаем:

\[\frac{\text{Площадь тени}}{\text{Площадь диска}} = \left( \frac{\frac{9}{2} \cdot R}{2 \cdot R} \right)^2 = \left(\frac{9}{4}\right)^2 = \frac{81}{16}\]

Площадь тени в \(\frac{81}{16}\) раза больше площади диска.