Каков коэффициент а в уравнении х^3- 6х^2+ах–8=0, если известно, что уравнение имеет три корня, все из которых

Skvoz_Tuman_2795

63

Для нахождения коэффициента \(а\) в данном уравнении, нам необходимо использовать информацию о корнях.
У нас дано, что уравнение имеет три корня, все из которых положительные. Значит, корням \(х_1\), \(х_2\) и \(х_3\) соответствуют положительные значения.

Мы знаем, что сумма коэффициентов при \(х\), взятых с обратным знаком, равна сумме корней (со знаком "-" перед суммой), а произведение коэффициентов при \(х\) равно последнему слагаемому (со знаком "-") деленному на первый коэффициент. По формулам Виета:
\[х_1 + х_2 + х_3 = 6\]
\[х_1х_2 + х_1х_3 + х_2х_3 = а\]
\[х_1х_2х_3 = 8\]

Так как все корни положительные, мы можем предположить, что все корни являются положительными целыми числами. Рассмотрим возможные комбинации положительных целых корней, которые удовлетворяют условию \(х_1 + х_2 + х_3 = 6\) и \(х_1х_2х_3 = 8\) (как третье число \(1\) не работает, то придётся изменить условие \(х_1 + х_2 + х_3 = 5\) и \(х_1х_2х_3 = 8\)):

1. Комбинация корней [1, 2, 4]:
- Сумма корней: \(1 + 2 + 4 = 7\)
- Произведение корней: \(1 \cdot 2 \cdot 4 = 8\)

2. Комбинация корней [1, 4, 1]:
- Сумма корней: \(1 + 4 + 1 = 6\)
- Произведение корней: \(1 \cdot 4 \cdot 1 = 4\)

Комбинация корней [1, 1, 4]:
- Сумма корней: \(1 + 1 + 4 = 6\)
- Произведение корней: \(1 \cdot 1 \cdot 4 = 4\)

Теперь мы можем проверить весь наш результат, заменив значение коэффициента \(а\) на полученные комбинации корней:

1. \(х^3 - 6х^2 + ах - 8 = 0\), где \(а = 7\)
2. \(х^3 - 6х^2 + ах - 8 = 0\), где \(а = 4\)
3. \(х^3 - 6х^2 + ах - 8 = 0\), где \(а = 4\)

Как видно, только во втором и третьем случае уравнение будет иметь решение с тремя положительными корнями. Поэтому коэффициент \(а\) может быть равен \(4\).

Ответ: Коэффициент \(а\) в уравнении \(х^3 - 6х^2 + ах - 8 = 0\), при условии что все корни положительные, равен \(4\).