Каков коэффициент перед a^2 b^8 в разложении бинома (a+b)^10?

Шустр

68

Разложение бинома \((a+b)^{10}\) можно получить с помощью биномиальной формулы:

\[(a+b)^{10} = \binom{10}{0} a^{10} b^0 + \binom{10}{1} a^9 b^1 + \binom{10}{2} a^8 b^2 + \ldots + \binom{10}{8} a^2 b^8 + \ldots + \binom{10}{10} a^0 b^{10}\]

Где \(\binom{n}{k}\) - биномиальный коэффициент, который определяется формулой:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Для задачи, вам необходим коэффициент перед \(a^2 b^8\). Из формулы разложения бинома видно, что этот коэффициент равен биномиальному коэффициенту \(\binom{10}{8}\).

Вычислим значение этого коэффициента:

\(\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!}\)

Раскроем факториалы:

\(\binom{10}{8} = \frac{10!}{8! \cdot 2!}\)

Сократим факториал в числителе:

\(\binom{10}{8} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1}\)

Выполним умножение в числителе:

\(\binom{10}{8} = \frac{90}{2}\)

Разделим числитель на знаменатель:

\(\binom{10}{8} = 45\)

Таким образом, коэффициент перед \(a^2 b^8\) в разложении бинома \((a+b)^{10}\) равен 45.