Каков коэффициент затухания, если амплитуда колебаний уменьшается в 5 раз за время 16,1 секунды? Через какое время

Yagoda

65

Чтобы решить данную задачу, мы будем использовать формулу для амплитуды затухающих колебаний:

\[A = A_0 \cdot e^{-\beta t}\]

где:
\(A\) - текущая амплитуда
\(A_0\) - начальная амплитуда
\(\beta\) - коэффициент затухания
\(t\) - время

Мы знаем, что амплитуда колебаний уменьшилась в 5 раз, то есть \(A = \frac{A_0}{5}\) при \(t = 16.1\) сек.

Подставим эти значения в формулу:

\[\frac{A_0}{5} = A_0 \cdot e^{-\beta \cdot 16.1}\]

Для удобства решения, давайте обозначим \(e^{-\beta \cdot 16.1}\) за \(k\).

\[\frac{1}{5} = k \cdot A_0\]

Теперь, чтобы найти значение \(k\), необходимо решить полученное уравнение относительно \(k\). Для этого поделим обе части уравнения на \(A_0\):

\[\frac{1}{5A_0} = k\]

Время, через которое амплитуда уменьшится в \(e\) раз, соответствует моменту, когда \(k = \frac{1}{e}\), так как \(e^{-1} = \frac{1}{e}\).

Таким образом, амплитуда уменьшится в \(e\) раз через время \(t\), для которого:

\[\frac{1}{e} = \frac{1}{5A_0}\]

Теперь разрешите мне посчитать это для вас.

\(\frac{1}{e} = \frac{1}{5 \cdot A_0}\)