Каков косинус двугранного угла при основании пирамиды, если апофема правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна

Eduard_3265

43

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые геометрические свойства. Предположим, что у нас есть правильная четырёхугольная пирамида SABCD, где S - вершина пирамиды, ABCD - вершины основания. Апофема (h) пирамиды - это высота пирамиды, проведенная из вершины S до плоскости основания ABCD.

Для начала, мы должны найти длину стороны основания пирамиды. Известно, что радиус описанной около основания окружности (R) равен 6. По определению, радиус описанной около основания окружности равен расстоянию от центра окружности до любой точки на окружности. Рассмотрим треугольник SAD, где AD - сторона основания пирамиды. Мы знаем, что AD - это диаметр описанной около основания окружности. Таким образом, сторона основания пирамиды равна AD = 2R = 2 * 8 = 16.

Теперь, чтобы найти косинус двугранного угла при основании пирамиды, мы можем воспользоваться геометрическим свойством. Рассмотрим треугольник SAB, где AB - это сторона основания пирамиды, SA - апофема пирамиды, а SB - радиус описанной около основания окружности. Заметим, что угол ASB является углом при основании пирамиды.

Из теоремы косинусов для треугольника SAB, мы можем записать следующее:

\[SB^2 = SA^2 + AB^2 - 2 * SA * AB * \cos(ASB)\]

Мы знаем, что SB = R = 8 и AB = 16. Теперь нам нужно найти значение SA.

Для этого мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника SAD, где SD - это радиус описанной около основания окружности, и AD - сторона основания пирамиды:

\[SD^2 = SA^2 + AD^2\]

Подставляя значение SD = R и AD = 16, мы можем найти значение SA:

\[R^2 = SA^2 + 16^2\]
\[64 = SA^2 + 256\]
\[SA^2 = 192\]
\[SA = \sqrt{192} \approx 13.86\]

Теперь, подставляя значения SA = 13.86, AB = 16 и SB = 8 в теорему косинусов для треугольника SAB, мы можем найти значение косинуса угла ASB:

\[8^2 = (13.86)^2 + 16^2 - 2 * (13.86) * 16 * \cos(ASB)\]

Решая данное уравнение, мы найдем значение угла ASB:

\[64 = 192 + 256 - 2 * 13.86 * 16 * \cos(ASB)\]
\[-384 = - 2 * 13.86 * 16 * \cos(ASB)\]
\[\cos(ASB) = \frac{-384}{- 2 * 13.86 * 16} \approx 0.553\]

Таким образом, косинус двугранного угла при основании пирамиды равен примерно 0.553.