Каков косинус угла α между прямыми, лежащими на рёбрах куба, проходящих через точки n и m, если длина ребра куба равна

Вечерняя_Звезда

31

Для решения данной задачи нам необходимо найти косинус угла между прямыми, проходящими через точки n и m на ребрах куба. Предлагаю следующее пошаговое решение:

1. Найдем вектор, соединяющий точки n и m. Для этого вычислим разность координат между точками n и m. Обозначим этот вектор как \(\overrightarrow{NM}\).

2. Зная длину ребра куба, обозначим ее как \(a\).

3. Разделим вектор \(\overrightarrow{NM}\) на его длину, чтобы получить единичный вектор, обозначим его как \(\overrightarrow{v}\). Для этого разделим каждую компоненту вектора \(\overrightarrow{NM}\) на длину этого вектора:
\[
\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{NM}}{\left\|\overrightarrow{NM}\right\|}
\]

4. Теперь найдем вектора, параллельные ребрам куба, проходящим через точки n и m. Поскольку куб является правильным многогранником, эти вектора будут направлены вдоль осей координат. Обозначим их следующим образом:
\(\overrightarrow{v_1} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\) (вектор, параллельный оси x),
\(\overrightarrow{v_2} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\) (вектор, параллельный оси y),
\(\overrightarrow{v_3} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\) (вектор, параллельный оси z).

5. Найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{v}\) и \(\overrightarrow{v_1}\), \(\overrightarrow{v}\) и \(\overrightarrow{v_2}\), \(\overrightarrow{v}\) и \(\overrightarrow{v_3}\). Для этого умножим соответствующие компоненты этих векторов и сложим результаты:
\[
\cos{\alpha_1} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v_1} = \overrightarrow{v} \cdot \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} = v_x
\]
\[
\cos{\alpha_2} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v_2} = \overrightarrow{v} \cdot \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} = v_y
\]
\[
\cos{\alpha_3} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v_3} = \overrightarrow{v} \cdot \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} = v_z
\]

Здесь \(\alpha_1\), \(\alpha_2\) и \(\alpha_3\) - углы между вектором \(\overrightarrow{v}\) и осями x, y и z соответственно.

6. Полученные скалярные произведения \(v_x\), \(v_y\) и \(v_z\) являются косинусами углов \(\alpha_1\), \(\alpha_2\) и \(\alpha_3\) соответственно. По определению, косинус угла между прямыми, проходящими через точки n и m на ребрах куба, будет равен наибольшему из этих трех значений.

Итак, чтобы найти косинус угла \(\alpha\) между прямыми, лежащими на ребрах куба, проходящих через точки n и m, найдите максимум среди значений \(v_x\), \(v_y\) и \(v_z\).