Каков косинус угла α между прямыми, лежащими на рёбрах куба, проходящих через точки n и m, если длина ребра куба равна

Вечерняя_Звезда

31

Для решения данной задачи нам необходимо найти косинус угла между прямыми, проходящими через точки n и m на ребрах куба. Предлагаю следующее пошаговое решение:

1. Найдем вектор, соединяющий точки n и m. Для этого вычислим разность координат между точками n и m. Обозначим этот вектор как $\overrightarrow{NM}$.

2. Зная длину ребра куба, обозначим ее как $a$.

3. Разделим вектор $\overrightarrow{NM}$ на его длину, чтобы получить единичный вектор, обозначим его как $\overrightarrow{v}$. Для этого разделим каждую компоненту вектора $\overrightarrow{NM}$ на длину этого вектора:
$$\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{NM}}{\Vert \overrightarrow{NM}\Vert }$$

4. Теперь найдем вектора, параллельные ребрам куба, проходящим через точки n и m. Поскольку куб является правильным многогранником, эти вектора будут направлены вдоль осей координат. Обозначим их следующим образом:
$\overrightarrow{v_1}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ (вектор, параллельный оси x),
$\overrightarrow{v_2}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$ (вектор, параллельный оси y),
$\overrightarrow{v_3}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ (вектор, параллельный оси z).

5. Найдем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{v}$ и $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v}$ и $\overrightarrow{v_2}$, $\overrightarrow{v}$ и $\overrightarrow{v_3}$. Для этого умножим соответствующие компоненты этих векторов и сложим результаты:
$$\cos {\alpha }_1=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{v}\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=v_x$$
$$\cos {\alpha }_2=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v}\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=v_y$$
$$\cos {\alpha }_3=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{v}\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=v_z$$

Здесь ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ и ${\alpha }_3$ - углы между вектором $\overrightarrow{v}$ и осями x, y и z соответственно.

6. Полученные скалярные произведения $v_x$, $v_y$ и $v_z$ являются косинусами углов ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ и ${\alpha }_3$ соответственно. По определению, косинус угла между прямыми, проходящими через точки n и m на ребрах куба, будет равен наибольшему из этих трех значений.

Итак, чтобы найти косинус угла $\alpha$ между прямыми, лежащими на ребрах куба, проходящих через точки n и m, найдите максимум среди значений $v_x$, $v_y$ и $v_z$.