Каков косинус угла между векторами а и b, если а имеет координаты (-8;6) и b имеет координаты (-15;8)?

Мистический_Лорд

36

Чтобы определить косинус угла между двумя векторами, нам понадобится использовать формулу, которая связывает скалярное произведение векторов и их модули:

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}}\]

где \(\theta\) - угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) - скалярное произведение векторов, \(|\mathbf{a}|\) и \(|\mathbf{b}|\) - модули векторов.

Для начала, найдем модули векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Модуль вектора можно вычислить с помощью формулы:

\(|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\)

где \(v_1\) и \(v_2\) - координаты вектора.

Теперь, найдем модули векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\(|\mathbf{a}| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\)

\(|\mathbf{b}| = \sqrt{(-15)^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\)

Теперь, найдем скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\). Скалярное произведение можно вычислить по формуле:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2\)

где \(a_1\) и \(a_2\) - координаты вектора \(\mathbf{a}\), \(b_1\) и \(b_2\) - координаты вектора \(\mathbf{b}\).

Теперь, найдем скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-8) \cdot (-15) + 6 \cdot 8 = 120 + 48 = 168\)

Теперь, подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

\(\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}} = \frac{{168}}{{10 \cdot 17}}\)

Выполнив вычисления, получаем:

\(\cos(\theta) \approx 0.988\)

Таким образом, косинус угла между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) приближенно равен 0.988.