Каков косинус угла наклона прямой, содержащей отрезок AB к плоскости α, если даны плоскость α, отрезок AB (13 см

Магия_Реки

69

Для начала, давайте разберемся с данными, которые у нас есть. У нас есть плоскость \(\alpha\), отрезок \(AB\) длиной 13 см, а также перпендикуляры \(AA_1\) и \(BB_1\) длиной 4 см и 9 см соответственно, проведенные от концов отрезка до плоскости.

Для решения задачи, нам понадобится воспользоваться геометрическими свойствами сходства треугольников. Давайте начнем с треугольника \(AA_1B_1\). Так как перпендикуляры \(AA_1\) и \(BB_1\) проведены из концов отрезка \(AB\) и параллельны плоскости, то треугольники \(AA_1B_1\) и \(ABB_1\) являются подобными.

Мы можем использовать это свойство сходства треугольников, чтобы установить пропорцию между отношениями сторон этих треугольников. Так как отрезок \(AB\) имеет длину 13 см, а перпендикуляр \(BB_1\) имеет длину 9 см, мы можем записать следующую пропорцию:

\(\frac{{AA_1}}{{AB}} = \frac{{AA_1B_1}}{{ABB_1}}\)

Подставляя значения из задачи, получаем:

\(\frac{{4}}{{13}} = \frac{{AA_1B_1}}{{AB+BB_1}}\)

\(\frac{{4}}{{13}} = \frac{{AA_1B_1}}{{13+9}}\)

Теперь, найдем значение отношения \(AA_1B_1\) к \(AB+BB_1\):

\(\frac{{4}}{{13}} = \frac{{AA_1B_1}}{{22}}\)

Теперь, решим эту пропорцию относительно неизвестного значения \(AA_1B_1\):

\(AA_1B_1 = \frac{{4}}{{13}} \cdot 22\)

\(AA_1B_1 = \frac{{88}}{{13}}\)

Таким образом, мы получили значение стороны \(AA_1B_1\), которая является гипотенузой прямоугольного треугольника \(AA_1B_1\).

Теперь, чтобы найти косинус угла наклона прямой, содержащей отрезок \(AB\), к плоскости \(\alpha\), мы можем использовать определение косинуса:

\(\cos(\text{угол наклона прямой}) = \frac{{\text{прилежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}}\)

В данном случае, прилежащим катетом является отрезок \(AB\) длиной 13 см, а гипотенузой является \(AA_1B_1\) длиной \(\frac{{88}}{{13}}\) см.

Подставляя значения, получаем:

\(\cos(\text{угол наклона прямой}) = \frac{{13}}{{\frac{{88}}{{13}}}}\)

\(\cos(\text{угол наклона прямой}) = \frac{{13 \cdot 13}}{{88}}\)

\(\cos(\text{угол наклона прямой}) = \frac{{169}}{{88}}\)

Таким образом, косинус угла наклона прямой, содержащей отрезок \(AB\) к плоскости \(\alpha\), равен \(\frac{{169}}{{88}}\).