Каков котангенс угла между плоскостью основания пирамиды и одним из ее боковых ребер, если высота правильной

Тень

24

Для решения этой задачи, мы сначала должны определить, какой угол нам нужно найти. Угол между плоскостью основания пирамиды и одним из ее боковых ребер можно найти, используя соотношение тангенса.

По определению, котангенс - это обратная величина тангенса. То есть, если значение тангенса угла между плоскостью основания и боковым ребром равно \(x\), то котангенс этого угла будет равен \(\frac{1}{x}\).

Давайте обозначим угол между плоскостью основания и боковым ребром как \(\theta\). Для нахождения тангенса этого угла, нам понадобится знать противоположную и прилежащую стороны треугольника, образованного этим углом.

Из условия задачи мы знаем, что высота пирамиды равна 9 и основание пирамиды является правильным треугольником. Это означает, что длина каждой стороны основания равна.

Теперь обратимся к прямоугольному треугольнику, образованному высотой пирамиды и половиной стороны основания.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали этого треугольника (бокового ребра пирамиды).

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

Где \(a\) - половина стороны основания (или радиус вписанной окружности правильного треугольника), \(b\) - высота пирамиды, \(c\) - диагональ (или боковое ребро пирамиды).

Так как каждая сторона основания равна , то \(a = \frac{1}{2} \cdot \).

Подставляя значения, мы получаем:

\[
\left(\frac{1}{2} \cdot \right)^2 + 9^2 = c^2
\]

\[
\frac{1}{4} \cdot + 81 = c^2
\]

\[
\frac{1}{4} \cdot + 81 = c^2
\]

\[
+ 81 = c^2
\]

\[
= c^2
\]

Теперь нам нужно найти значение тангенса угла \(\theta\) в нашем прямоугольном треугольнике. Мы можем использовать следующее соотношение:

\[
\tan \theta = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилежащая сторона}}
\]

В нашем случае, противоположная сторона - это сторона основания пирамиды, равная , и прилежащая сторона - это половина бокового ребра, которую мы уже нашли -

\[
\tan \theta = \frac{ }{ \frac{1}{2} \cdot }
\]

\[
\tan \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}
\]

Теперь, чтобы найти котангенс, просто возьмем обратную величину:

\[
\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Таким образом, котангенс угла между плоскостью основания пирамиды и одним из ее боковых ребер равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).