Якого об єму має правильна трикутна піраміда з апофемою b і кутом a між апофемою та основою піраміди?

Мурлыка

18

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся формулой для вычисления объема правильной трикотажной пирамиды. Обозначим высоту пирамиды через \(h\), длину основания через \(s\) и площадь основания через \(S\).

Объем правильной трикотажной пирамиды вычисляется по формуле:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\]

Для этой задачи нам также понадобятся две дополнительные формулы.

Формула для нахождения площади треугольника, где сторона треугольника \(a\) и высота этого треугольника \(h_t\), равна:
\[S_t = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_t\]

Формула для нахождения высоты треугольника, если известны площадь этого треугольника \(S_t\) и основание \(a\), равна:
\[h_t = \frac{2 \cdot S_t}{a}\]

Так как мы имеем дело с правильной трикотажной пирамидой, у которой основание является равносторонним треугольником, все его стороны равны между собой и равны \(s\).

Как мы знаем, в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Таким образом, угол \(a\) между апофемой и основанием пирамиды также равен 60 градусам.

Теперь выберем любую из формул и начнем решение задачи. Поскольку у нас есть значение угла \(a\) и апофемы \(b\), мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника и оттуда найти площадь основания пирамиды.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу:
\[S_t = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_t\]

Так как треугольник равносторонний, его высота \(h_t\) — это средняя линия, проведенная из вершины до середины основания. Высота треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих прямоугольных треугольников угол между одним из катетов и гипотенузой составляет 30 градусов.

Таким образом, высоту треугольника можно найти, используя формулу для высоты прямоугольного треугольника:
\[h_t = \frac{b}{2} \cdot \tan(30^\circ)\]

Угол 30 градусов — это половина угла \(a\) между апофемой и основанием пирамиды.

Теперь мы можем найти площадь основания пирамиды, используя площадь треугольника, которую мы только что нашли.

\[S = 3 \cdot S_t\]

В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому основание пирамиды также будет равносторонним, и его площадь будет равна:
\[S = \frac{s^2 \cdot \sqrt{3}}{4}\]

Теперь у нас есть площадь основания пирамиды \(S\) и длина апофемы \(b\), и мы можем найти высоту пирамиды \(h\) с помощью объема пирамиды.

Объем пирамиды можно найти, используя следующую формулу:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\]

Теперь мы можем записать уравнение и найти неизвестную высоту пирамиды:
\[\frac{1}{3} \cdot \frac{s^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot h = V\]

Решим это уравнение относительно \(h\):
\[h = \frac{4 \cdot V}{s^2 \cdot \sqrt{3}}\]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды с апофемой \(b\) и углом \(a\) между апофемой и основанием пирамиды равен:
\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{s^2 \cdot \sqrt{3} \cdot b}{4} \cdot \frac{4}{s^2 \cdot \sqrt{3}}\]

Упростим это выражение:
\[V = \frac{1}{3} \cdot b\]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен \(\frac{1}{3} \cdot b\)