Каков КПД цикла, если идеальный трехатомный газ, состоящий из жестких (объемных) молекул, нагревается при постоянном

Елизавета

49

Данная задача относится к циклам Карно и может быть решена с помощью формул для работы \(W\), теплоты \(Q\) и КПД \(\eta\) в процессе нагрева и охлаждения идеального газа.

Для того чтобы решить задачу, давайте разобьем ее на несколько этапов и посчитаем все необходимые значения.

Шаг 1: Расчет работы и теплоты в процессе нагрева при постоянном объеме (изохорический процесс).
Так как процесс нагрева происходит при постоянном объеме, работа \(W\) будет равна нулю, так как нет перемещения газа. Теплота \(Q\) для этого процесса может быть найдена с помощью закона Гей-Люссака для идеального газа, который гласит, что \(P_1V_1 = nRT_1\), где \(P_1\) - начальное давление, \(V_1\) - начальный объем, \(n\) - количество вещества газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная и \(T_1\) - начальная температура.
Таким образом, теплота в процессе нагрева равна \(Q_1 = nC_v\Delta T\), где \(C_v\) - молярная удельная теплоемкость при постоянном объеме и \(\Delta T\) - изменение температуры.

Шаг 2: Расчет работы и теплоты в процессе изотермического расширения.
В данном процессе работа \(W\) может быть найдена с помощью формулы \(W_2 = nRT_2\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\), где \(T_2\) - константная температура изотермического процесса и \(V_2\) - конечный объем. Так как газ изотермически расширяется, то температура остается постоянной, а значит работа может быть вычислена. Теплота \(Q_2\) для этого процесса также может быть найдена с помощью второго закона термодинамики \(Q_2 = W_2\).

Шаг 3: Расчет работы и теплоты в процессе изобарного сжатия.
В данном процессе газ сжимается при постоянном давлении, поэтому работу \(W\) можно найти с помощью формулы \(W_3 = -P_1(V_1-V_2)\), где \(P_1\) - начальное давление и \(V_1\) и \(V_2\) - начальный и конечный объемы соответственно. Теплота \(Q_3\) для этого процесса также может быть найдена с помощью второго закона термодинамики \(Q_3 = W_3\).

Шаг 4: Рассчитаем КПД цикла.
КПД цикла определяется по формуле \(\eta = \frac{{\text{Полезная работа}}}}{{\text{Входная теплота}}}\). В данном случае полезная работа - это работа, совершенная в процессе изотермического расширения и изобарного сжатия, то есть \(W_{\text{полезная}} = W_2 + W_3\). Входная теплота - это теплота, полученная в процессе нагрева, то есть \(Q_{\text{входная}} = Q_1\).

Теперь, приступим к конкретным расчетам.

1. Начальное давление газа (\(P_1\)) можно принять за единицу, тогда конечное давление (\(P_2\)) будет равно 2.

2. Найдем температуру второго состояния (\(T_2\)). Так как газ является идеальным, то зная начальное давление, можно воспользоваться уравнением состояния идеального газа \(P_1V_1 = nRT_1\), чтобы выразить \(T_2\):
\[T_2 = \frac{{P_1V_1}}{{nP_2}}\]

3. Выберем произвольные значения для начального объема (\(V_1\)) и количества вещества газа (\(n\)). Для примера, возьмем \(V_1 = 1\) и \(n = 1\). Тогда \(V_2 = \frac{{nP_1V_1}}{{P_2}}\) и \(T_2\) можно найти из шага 2.

4. Посчитаем работу и теплоту в каждом процессе:
Шаг 1: \(W_1 = 0\) (изохорический процесс)
Теплота в процессе нагрева: \(Q_1 = nC_v\Delta T\), где \(\Delta T = T_2 - T_1\).
Шаг 2: \(W_2 = nRT_2\ln\left(\frac{{V_2}}{{V_1}}\right)\)
Шаг 3: \(W_3 = -P_1(V_1 - V_2)\)

5. Найдем полезную работу и входную теплоту:
Полезная работа: \(W_{\text{полезная}} = W_2 + W_3\)
Входная теплота: \(Q_{\text{входная}} = Q_1\)

6. Вычислим КПД цикла по формуле \(\eta = \frac{{W_{\text{полезная}}}}{{Q_{\text{входная}}}}\).

7. Построим график цикла Карно на координатной плоскости давление-объем (P-V).

Обратите внимание, что значения для \(n\), \(C_v\) и других физических констант можно найти в справочниках или уточнить у преподавателя физики.

Если вам нужны численные значения или график, пожалуйста, уточните конкретные значения \(V_1\), \(n\) и другие параметры, чтобы мы могли выполнить расчеты.