Каков модуль максимального импульса шарика, подвешенного на легкой пружине, отображенный на графике зависимости

Людмила

61

Хорошо, я могу помочь вам с этой задачей. Чтобы найти модуль максимального импульса шарика, подвешенного на легкой пружине, сначала нужно разобраться в графике зависимости проекции смещения от времени.

На графике будет отображена sinusoidal (синусоидальная) кривая, так как подвешенный на пружине шарик движется гармонически. Амплитуда этой кривой показывает максимальное смещение шарика от положения равновесия.

Чтобы найти модуль максимального импульса, нужно учесть связь между импульсом и смещением шарика. Импульс связан с кинетической энергией и массой, который выражается как \(p = m \cdot v\), где \(p\) - импульс, \(m\) - масса шарика, \(v\) - скорость шарика.

Используем закон сохранения энергии: кинетическая энергия равна потенциальной энергии в крайних положениях. При максимальном смещении, в положении равновесия скорость максимальна, а смещение минимально. Таким образом, кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия максимальна.

Потенциальная энергия пружины (у которой закон Гука действует) равна \( U = \frac{1}{2} k x^2\), где \( U \) - потенциальная энергия, \( k \) - коэффициент упругости пружины, \( x \) - смещение шарика от положения равновесия.

Когда смещение максимально, потенциальная энергия тоже максимальна и равна кинетической энергии отдельно взятой частицы.

Теперь уравняем эти две формулы:

\[ \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2 \]

Поскольку \(\frac{1}{2}\) делитель имеется в обоих сторонах, этот множитель может быть отменен:

\[ k x^2 = m v^2 \]

Теперь обратимся к основным уравнениям гармонического колебания. Связь между смещением, массой, силой, коэффициентом упругости и периодом описывается формулой:

\[ k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2} \]

Где \( T \) - период колебаний. Так как я не имею данных об этом периоде, я не могу узнать точное значение модуля максимального импульса, однако могу дать общий подход к решению.

Теперь приведем формулу для \( v \):

\[ v = \frac{2 \pi x}{T} \]

Вставляем это обратно в наше изначальное уравнение:

\[ k x^2 = m \left(\frac{2 \pi x}{T}\right)^2 \]

Упрощаем:

\[ k = \frac{4 \pi^2 m}{T^2} \]

\[ x^2 = \left(\frac{2 \pi x}{T}\right)^2 \]

\[ x^2 = \frac{4 \pi^2 x^2}{T^2} \]

Теперь делим обе части на \(x^2\):

\[ 1 = \frac{4 \pi^2}{T^2} \]

\[ T^2 = 4 \pi^2 \]

\[ T = 2 \pi \]

Теперь, зная период колебаний, можно найти коэффициент упругости \( k \):

\[ k = \frac{4 \pi^2 m}{(2 \pi)^2} \]

\[ k = \frac{m}{2} \]

Наконец, возвращаемся к первому уравнению:

\[ k x^2 = m v^2 \]

\[ \frac{m}{2} x^2 = m v^2 \]

\[ \frac{1}{2} x^2 = v^2 \]

\[ x^2 = 2 v^2 \]

\[ x = \sqrt{2} v \]

\[ v = \frac{x}{\sqrt{2}} \]

Теперь, используя известное значение массы \( m = 45 \) граммов, можно выразить модуль максимального импульса шарика при максимальном смещении:

\[ p = m v = 45 \cdot \frac{x}{\sqrt{2}} \]

Предлагаю вам подставить значение смещения \( x \) из графика и рассчитать модуль максимального импульса шарика.