Каков модуль скорости точки в момент времени t = 1/3 секунды, если она движется по заданной траектории с законом s(t

Pugayuschiy_Dinozavr_3876

6

Дано:

Уравнение траектории движения точки: $s(t)={\cos }^2(\frac{\pi }{2}t)+3$ (в метрах)
Время $t=\frac{1}{3}$ секунды

Для определения модуля скорости точки в момент времени $t=\frac{1}{3}$ секунды необходимо найти производную $s(t)$ и подставить значение времени.

1. Найдем производную $s(t)$ по времени $t$:

$$v(t)=\frac{ds(t)}{dt}=\frac{d}{dt}({\cos }^2(\frac{\pi }{2}t)+3)$$

Производная от константы равна нулю, поэтому нам нужно найти производную ${\cos }^2(\frac{\pi }{2}t)$:

$$v(t)=\frac{d}{dt}({\cos }^2(\frac{\pi }{2}t))$$

2. Производная квадрата тригонометрической функции:

$$\frac{d}{dt}({\cos }^2(u))=-2\cos (u)\sin (u)\cdot \frac{du}{dt}$$

В нашем случае $u=\frac{\pi }{2}t$, поэтому:

$$v(t)=-2\cos (\frac{\pi }{2}t)\sin (\frac{\pi }{2}t)\cdot \frac{d}{dt}(\frac{\pi }{2}t)$$

3. Найдем производную $\frac{\pi }{2}t$ по $t$:

$$\frac{d}{dt}(\frac{\pi }{2}t)=\frac{\pi }{2}$$

Подставляем все обратно в выражение для $v(t)$:

$$v(t)=-2\cos (\frac{\pi }{2}t)\sin (\frac{\pi }{2}t)\cdot \frac{\pi }{2}$$

Теперь можем найти модуль скорости в момент времени $t=\frac{1}{3}$ секунды:

$$v(\frac{1}{3})=-2\cos (\frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{3})\sin (\frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{3})\cdot \frac{\pi }{2}$$

$$v(\frac{1}{3})=-2\cos (\frac{\pi }{6})\sin (\frac{\pi }{6})\cdot \frac{\pi }{2}$$

$$\cos (\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin (\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$$

$$v(\frac{1}{3})=-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}$$

$$v(\frac{1}{3})=-\sqrt{3}\cdot \frac{\pi }{4}$$

Таким образом, модуль скорости точки в момент времени $t=\frac{1}{3}$ секунды равен $|\sqrt{3}\cdot \frac{\pi }{4}|$ м/с.

Подставив числовые значения, получаем:

$$|v(\frac{1}{3})|=|\sqrt{3}\cdot \frac{\pi }{4}|\approx 1.36$$ м/с.