Каков модуль скорости точки в момент времени t = 1/3 секунды, если она движется по заданной траектории с законом s(t

Pugayuschiy_Dinozavr_3876

6

Дано:

Уравнение траектории движения точки: \(s(t) = \cos^2(\frac{π}{2}t) + 3\) (в метрах)
Время \(t = \frac{1}{3}\) секунды

Для определения модуля скорости точки в момент времени \(t = \frac{1}{3}\) секунды необходимо найти производную \(s(t)\) и подставить значение времени.

1. Найдем производную \(s(t)\) по времени \(t\):

\[v(t) = \frac{ds(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos^2(\frac{π}{2}t) + 3)\]

Производная от константы равна нулю, поэтому нам нужно найти производную \(\cos^2(\frac{π}{2}t)\):

\[v(t) = \frac{d}{dt}(\cos^2(\frac{π}{2}t))\]

2. Производная квадрата тригонометрической функции:

\[\frac{d}{dt}(\cos^2(u)) = -2\cos(u)\sin(u) \cdot \frac{du}{dt}\]

В нашем случае \(u = \frac{π}{2}t\), поэтому:

\[v(t) = -2\cos(\frac{π}{2}t)\sin(\frac{π}{2}t) \cdot \frac{d}{dt}(\frac{π}{2}t)\]

3. Найдем производную \(\frac{π}{2}t\) по \(t\):

\[\frac{d}{dt}(\frac{π}{2}t) = \frac{π}{2}\]

Подставляем все обратно в выражение для \(v(t)\):

\[v(t) = -2\cos(\frac{π}{2}t)\sin(\frac{π}{2}t) \cdot \frac{π}{2}\]

Теперь можем найти модуль скорости в момент времени \(t = \frac{1}{3}\) секунды:

\[v(\frac{1}{3}) = -2\cos(\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3})\sin(\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}) \cdot \frac{π}{2}\]

\[v(\frac{1}{3}) = -2\cos(\frac{π}{6})\sin(\frac{π}{6}) \cdot \frac{π}{2}\]

\[\cos(\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2},\ \sin(\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}\]

\[v(\frac{1}{3}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}\]

\[v(\frac{1}{3}) = -\sqrt{3} \cdot \frac{π}{4}\]

Таким образом, модуль скорости точки в момент времени \(t = \frac{1}{3}\) секунды равен \(|\sqrt{3} \cdot \frac{π}{4}|\) м/с.

Подставив числовые значения, получаем:

\[|v(\frac{1}{3})| = |\sqrt{3} \cdot \frac{π}{4}| \approx 1.36\] м/с.