Каков модуль вектора индукции магнитного поля в вершине М прямого угла треугольника, создаваемого двумя горизонтальными

Snezhok

51

Для решения этой задачи, нам нужно применить закон Био-Савара-Лапласа. Этот закон позволяет нам вычислить магнитное поле, создаваемое током в произвольной точке в пространстве.

Сначала мы можем вычислить магнитное поле, создаваемое каждым проводом отдельно. Формула для магнитной индукции \(B\) от прямолинейного провода с током \(I\) в расстоянии \(r\) от провода известна и может быть записана следующим образом:

\[
B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2\pi r}}
\]

Где \(\mu_0\) - магнитная постоянная, равная \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл/А}\cdot\text{м}\).

Теперь рассмотрим первый провод с током \(I = 3 \, \text{А}\). Поскольку он проходит через вершину вертикально расположенного прямоугольного равнобедренного треугольника, нас интересует магнитное поле в точке \(M\). Проведя перпендикуляр из \(M\) к прямой с током, мы можем увидеть, что это поле будет перпендикулярно стороне треугольника и будет направлено вверх. Также, поскольку радиус от провода до точки \(M\) равен одному катету треугольника \(d\) (по определению треугольника), мы можем записать следующий ответ для первого провода:

\[
B_1 = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2\pi d}}
\]

Теперь посмотрим на второй провод с током \(I_2 = 4 \, \text{А}\). Он также проходит через вершину вертикально расположенного прямоугольного равнобедренного треугольника. Радиус от провода до точки \(M\) равен гипотенузе треугольника. Используя теорему Пифагора, гипотенузу можно выразить через катет \(d\):

\[
r = \sqrt{d^2 + d^2} = \sqrt{2d^2} = d\sqrt{2}
\]

Подставляя этот радиус в формулу для второго провода, мы получаем:

\[
B_2 = \frac{{\mu_0 \cdot I_2}}{{2\pi d\sqrt{2}}}
\]

Теперь, чтобы получить полное магнитное поле в точке \(M\), мы можем сложить вектора магнитного поля каждого провода в этой точке. Поскольку поля создаваемые проводами направлены вверх, мы можем просто сложить их по формулам и получить итоговое магнитное поле:

\[
B = B_1 + B_2
\]

Выполним расчет:

\[
B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2\pi d}} + \frac{{\mu_0 \cdot I_2}}{{2\pi d\sqrt{2}}}
\]

\[
B = \frac{{4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл/А}\cdot\text{м} \cdot 3 \, \text{А}}}{{2\pi \cdot 0.2 \, \text{м}}} + \frac{{4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл/А}\cdot\text{м} \cdot 4 \, \text{А}}}{{2\pi \cdot 0.2 \, \text{м} \cdot \sqrt{2}}}
\]

\[
B = \frac{{12 \times 10^{-7} \, \text{Тл/м}}}{{0.4 \, \text{м}}} + \frac{{16 \times 10^{-7} \, \text{Тл/м}}}{{0.4 \, \text{м} \cdot \sqrt{2}}}
\]

\[
B \approx 30 \times 10^{-7} \, \text{Тл/м} + 22.6 \times 10^{-7} \,\text{Тл/м}
\]

\[
B \approx 52.6 \times 10^{-7} \, \text{Тл/м}
\]

Ответ: модуль вектора индукции магнитного поля в вершине \(М\) прямоугольного треугольника равен \(52.6 \times 10^{-7} \, \text{Тл/м}\), округленно до целого значения \(53 \, \text{мкТл}\).