Каков момент инерции уголка, согнутого под прямым углом из однородного металлического прута массой m и длиной

Turandot

45

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится формула для вычисления момента инерции. Момент инерции \(I\) можно рассчитать как сумму произведений массы каждой частицы на квадрат расстояния от оси вращения до этой частицы:

\[I = \int r^2 dm\]

где интеграл берется по всем частичкам, из которых состоит объект.

Уголок, согнутый под прямым углом, можно представить как объединение двух прямых отрезков, каждый из которых имеет свою массу. Обозначим \(m_1\) массу одного прямого отрезка и \(m_2\) массу другого прямого отрезка.

Для расчета момента инерции будем считать, что уголок согнут таким образом, что проводящая через один из его концов ось вращения проходит через центр масс каждого из прямых отрезков.

Расстояние от оси вращения до центра масс первого прямого отрезка равно половине его длины, а расстояние от оси вращения до центра масс второго прямого отрезка также равно половине его длины.

Поскольку прямые отрезки однородны, их масса распределена равномерно по длине. Это позволяет нам выразить менее сложные формулы для массы \(m_1\) и \(m_2\):

\[m_1 = \frac{m}{2}\]
\[m_2 = \frac{m}{2}\]

Теперь мы можем рассчитать момент инерции каждого прямого отрезка. Для прямого отрезка массой \(m_1\) момент инерции будет равен:

\[I_1 = \frac{{m_1 \cdot l_1^2}}{3}\]

где \(l_1\) - длина прямого отрезка.

Аналогично, для прямого отрезка массой \(m_2\), момент инерции будет:

\[I_2 = \frac{{m_2 \cdot l_2^2}}{3}\]

где \(l_2\) - длина прямого отрезка.

Итак, момент инерции уголка, согнутого под прямым углом, будет равен сумме моментов инерции двух прямых отрезков:

\[I = I_1 + I_2\]

Подставив значения \(m_1\), \(m_2\), \(l_1\) и \(l_2\), мы получим окончательное выражение для момента инерции уголка.

Резюмируя, момент инерции уголка, согнутого под прямым углом, относительно оси, проходящей через один из его концов, можно вычислить по следующей формуле:

\[I = \frac{{m \cdot l^2}}{12}\]