Каков объем фигуры, образованной вращением треугольника ABC вокруг оси ординат в данной системе координат, если точки

Елисей

47

Для начала определим уравнения прямых, содержащих стороны треугольника ABC.

1. Сторона AB:
Уравнение прямой проходящей через точки A(5;4,8) и B(6;4,8) можно записать в виде:
\[y = kx + b\]
где:
\[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
\[b = y - kx\]
Подставляя данные точки, получим:
\[k = \frac{4,8 - 4,8}{6 - 5} = 0\]
\[b = 4,8\]

Таким образом, уравнение прямой AB: \(y = 4,8\).

2. Сторона AC:
Уравнение прямой проходящей через точки A(5;4,8) и C(5;7,8) будет иметь вид:
\[x = 5\]

3. Сторона BC:
Уравнение прямой проходящей через точки B(6;4,8) и C(5;7,8):
\[k = \frac{7,8 - 4,8}{5-6} = -3\]
\[b = 22,8\]

Таким образом, уравнение прямой BC: \(y = -3x + 22,8\).

Теперь, найдем точки пересечения прямых для определения вершин треугольника.

1. Точка пересечения AB и AC:
Подставляем уравнения прямых AB и AC:
\[y = 4,8\]
\[x = 5\]

Следовательно, точка A(5;4,8) - одна из вершин треугольника.

2. Точка пересечения AC и BC:
Подставляем уравнения прямых AC и BC:
\[y = -3 \cdot 5 + 22,8 = 7,8\]
\[x = 5\]

Следовательно, точка C(5;7,8) - еще одна вершина треугольника.

3. Точка пересечения AB и BC:
Подставляем уравнения прямых AB и BC:
\[\begin{cases} y = 4,8 \\ y = -3x + 22,8 \end{cases}\]

Подставляем y из первого уравнения во второе:
\[4,8 = -3x + 22,8\]
\[3x = 18\]
\[x = 6\]
\[y = 4,8\]

Таким образом, точка B(6;4,8) - третья вершина треугольника.

Теперь, чтобы найти объем фигуры, образованной вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, необходимо найти высоту треугольника и интегрировать полученную функцию площади по оси ординат.

Площадь треугольника ABC:
\[S = \frac{1}{2} \times base \times height\]
\[S = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1,5\]

Объем фигуры при вращении треугольника вокруг оси ординат:
\[V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x)dx\]

где:
\[f(x) = 3 - x\]

Интегрируем:
\[V = \pi \int_{4,8}^{7,8} (3 - x)^2 dx\]
\[V = \pi \int_{4,8}^{7,8} (9 - 6x + x^2)dx\]
\[V = \pi \left[9x - 3x^2 + \frac{1}{3}x^3\right]_{4,8}^{7,8}\]
\[V = \pi \left[9 \times 7,8 - 3 \times 7,8^2 + \frac{1}{3} \times 7,8^3 - 9 \times 4,8 + 3 \times 4,8^2 - \frac{1}{3} \times 4,8^3\right]\]
\[V = \pi (70,2 - 182,52 + 470,59 - 43,2 + 69,12 - 23,04)\]
\[V = \pi \times 361,49\]

Таким образом, объем фигуры, образованной вращением треугольника ABC вокруг оси ординат, равен \(361,49\pi\).