Каков объем и площадь боковой поверхности усеченного конуса, если длина его образующей равна 17 см, площадь основного

Vulkan

33

Для того чтобы найти объем и площадь боковой поверхности усеченного конуса, нам нужно использовать соответствующие формулы для конусов и усеченных конусов.

Для начала, давайте найдем высоту усеченного конуса. У нас есть площади основного и среднего сечений. Запомните, что площадь основного сечения конуса без усечения равна площади основного сечения усеченного конуса. Поэтому, площадь основного сечения равна 420 см².

Формула площади основания конуса: \(S_{\text{конуса}} = \pi r^2\), где \(r\) - радиус основания конуса. Обозначим радиус основания усеченного конуса за \(R\), а радиус основания основного сечения за \(r_1\).

Таким образом, формула для высоты усеченного конуса будет следующей:

\[\frac{S_{\text{конуса}}}{\pi r_1^2} = \frac{196\pi}{r_1^2} = 420\]
\[\frac{196}{r_1^2} = \frac{420}{\pi}\]
\[r_1^2 = \frac{196\pi}{420}\]
\[r_1^2 = \frac{7\pi}{15}\]

Теперь, давайте найдем радиус основания верхнего сечения \(r_2\). Мы знаем, что площадь среднего сечения равна 196π см². Также, обозначим высоту усеченного конуса за \(h\).

\(\frac{S_{\text{конуса}}}{\pi r_2^2} = \frac{196\pi}{r_2^2} = 196\)
\[r_2^2 = 1\]

Теперь у нас есть радиусы оснований both the upper and lower sections of the truncated cone. Для определения объема усеченного конуса мы можем использовать следующую формулу:

\[V_{\text{усеч. конуса}} = \frac{1}{3}\pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)\]
\[V_{\text{усеч. конуса}} = \frac{1}{3}\pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)\]
\[V_{\text{усеч. конуса}} = \frac{1}{3}\pi h \left(\frac{7\pi}{15} + 1 + \sqrt{\frac{7\pi}{15}}\right)\]

Для нахождения площади боковой поверхности усеченного конуса, мы можем использовать формулу:

\[S_{\text{боковой}} = \pi (r_1 + r_2) l\]
\[S_{\text{боковой}} = \pi (r_1 + r_2) \sqrt{l^2 - (r_1 - r_2)^2}\]
\[S_{\text{боковой}} = \pi (r_1 + r_2) \sqrt{17^2 - \left(\sqrt{\frac{7\pi}{15}} - 1\right)^2}\]

Таким образом, с использованием этих формул, мы можем найти объем и площадь боковой поверхности усеченного конуса соответственно.