Каков объем конуса, если его осевое сечение является равносторонним треугольником длиной стороны

Волк

31

Для решения этой задачи, нам понадобятся формулы, связанные с объемом конуса и равносторонним треугольником.

Формула для объема конуса выглядит следующим образом:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Где:
- V - объем конуса,
- \(\pi\) - приближенное значение числа Пи (около 3.14),
- r - радиус основания конуса,
- h - высота конуса.

С учетом информации, что осевое сечение конуса является равносторонним треугольником, у нас есть следующие сведения:
- Длина стороны равностороннего треугольника равна \(a\).

Равносторонний треугольник имеет следующие свойства:
- Все стороны равны друг другу,
- Все углы равны по \(60^\circ\).

Радиус основания конуса можно найти, используя формулу радиуса вписанной окружности:

\[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

Высоту конуса можно найти, используя теорему Пифагора:

\[ h = \sqrt{r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Теперь, когда у нас есть формулы для радиуса и высоты, мы можем найти объем конуса, подставив значения в формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2 \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a \sqrt{3}}{6}\right)^2 } \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a^2 \cdot 3}{36}\right) \sqrt{\left(\frac{a^2}{4}\right) - \left(\frac{a^2 \cdot 3}{36}\right) } \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a^2 \cdot 3}{36}\right) \sqrt{\left(\frac{9a^2}{36}\right) - \left(\frac{a^2 \cdot 3}{36}\right) } \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a^2 \cdot 3}{36}\right) \sqrt{\frac{9a^2 - 3a^2}{36} } \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a^2 \cdot 3}{36}\right) \sqrt{\frac{6a^2}{36} } \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a^2 \cdot 3}{36}\right) \sqrt{\frac{a^2}{6} } \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a^2 \cdot 3a}{36}\right) \sqrt{\frac{1}{6} } \]

\[ V = \frac{\pi a^3}{36\sqrt{6}} \]

Таким образом, объем конуса, у которого осевое сечение является равносторонним треугольником длиной стороны \(a\), равен \(\frac{\pi a^3}{36\sqrt{6}}\).