Ва. Найдите скалярное произведение векторов для единичного куба ABCDA,B,CD, (рис. 22.4): а) AC и BD, б) AB и BC

Ветка

67

Хорошо, давайте начнем с пункта (а). Мы должны найти скалярное произведение векторов AC и BD для единичного куба ABCDAB"C"D".

Чтобы найти скалярное произведение векторов, необходимо умножить соответствующие компоненты векторов друг на друга и затем сложить полученные произведения. Для вектора AC и BD у нас есть следующие компоненты:

Вектор AC:
AC = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (C - A)

где A(x1, y1, z1) - координаты точки A, C(x2, y2, z2) - координаты точки C.

Вектор BD:
BD = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (D - B)

где B(x1, y1, z1) - координаты точки B, D(x2, y2, z2) - координаты точки D.

Подставляя значения координат, получим:

AC = (1 - 0, 1 - 0, 1 - 0) = (1, 1, 1)
BD = (0 - 1, 0 - 1, 0 - 1) = (-1, -1, -1)

Теперь мы можем найти скалярное произведение, умножив соответствующие компоненты и сложив их:
AC · BD = (1 * -1) + (1 * -1) + (1 * -1) = -1 - 1 - 1 = -3

Ответ: скалярное произведение векторов AC и BD для данного куба равно -3.

Перейдем теперь к пункту (б), где нам нужно найти скалярное произведение векторов AB и BC.

Аналогично предыдущему примеру, мы можем записать компоненты векторов AB и BC:

Вектор AB:
AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (B - A)

Вектор BC:
BC = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) = (C - B)

Подставляя значения координат, получим:

AB = (1 - 0, 1 - 0, 0 - 0) = (1, 1, 0)
BC = (1 - 1, 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1)

Теперь найдем скалярное произведение:
AB · BC = (1 * 0) + (1 * -1) + (0 * 1) = 0 - 1 + 0 = -1

Ответ: скалярное произведение векторов AB и BC для данного куба равно -1.

Перейдем к пункту (в), где мы должны найти скалярное произведение векторов AB и АВ.

Так как вектор АВ - это противоположный вектор относительно вектора AB, то скалярное произведение этих векторов будет равно нулю.

Ответ: скалярное произведение векторов AB и АВ для данного куба равно 0.