Каков объем конуса, если хорда основания, стягивающая центральный угол 120 градусов, равна 6 корень из 3 и расположена

Тень

36

Для того чтобы найти объем конуса, нам необходимо знать радиус основания и высоту конуса. Зная высоту и радиус основания, мы можем использовать формулу для объема конуса, которая выглядит следующим образом:

\[ V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h \]

Для начала, найдем радиус основания конуса. Мы знаем, что хорда основания, стягивающая центральный угол 120 градусов, равна 6 корень из 3. Рассмотрим треугольник, образованный этой хордой, радиусом основания и отрезком, соединяющим вершину конуса с серединой хорды. Заметим, что этот треугольник является равносторонним, так как все его стороны равны. Пусть сторона этого треугольника равна a. Тогда, согласно свойствам равностороннего треугольника, a равно 6 корень из 3.

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания, отрезком, соединяющим вершину конуса с серединой хорды, и отрезком, расположенным на расстоянии 5 см от вершины конуса. Этот прямоугольный треугольник является половиной равностороннего треугольника, поэтому его гипотенуза равна a, а катет, соединяющий вершину конуса с серединой хорды, равен 5 см.

Применяя теорему Пифагора, найдем значение радиуса основания конуса:

\[ r = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 - 5^2} = \sqrt{108 - 25} = \sqrt{83} \]

Теперь перейдем к нахождению высоты конуса. Заметим, что отрезок, соединяющий вершину конуса с серединой хорды, является высотой конуса. Обозначим высоту как h.

Для нахождения высоты, мы можем использовать теорему Пифагора, примененную к прямоугольному треугольнику, образованному радиусом основания, половиной хорды и высотой конуса. Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[ h^2 = (\sqrt{83})^2 - (\dfrac{6\sqrt{3}}{2})^2 = 83 - 27 = 56 \]

Находим высоту конуса:

\[ h = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \]

Теперь, когда у нас есть радиус основания ( \(\sqrt{83}\) ) и высота ( \(2\sqrt{14}\) ), мы можем найти объем конуса, используя формулу:

\[ V = \dfrac{1}{3} \pi (\sqrt{83})^2 (2\sqrt{14}) = \dfrac{2}{3} \pi \cdot 83 \cdot \sqrt{14} \]

Итак, объем конуса равен \( \dfrac{2}{3} \pi \cdot 83 \cdot \sqrt{14} \) кубических сантиметров.