Каков объём основы правильной треугольной усеченной пирамиды, если стороны ее оснований равны 4 см и 6 см, а угол

Vinni

7

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу для объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \times A \times h\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(A\) - площадь основания пирамиды и \(h\) - высота пирамиды.

Чтобы вычислить площадь основания \(A\), нам нужно знать формулу для площади треугольника. Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу:

\[A = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)\]

где \(a\) и \(b\) - стороны треугольника, а \(C\) - угол между этими сторонами.

В нашей задаче, мы имеем правильную треугольную усеченную пирамиду, где основания имеют стороны 4 см и 6 см. Так как угол наклона ребер к основанию составляет 45 градусов, угол между сторонами основания будет равен 90 градусов - половина от 180 градусов в правильном треугольнике.

Теперь мы можем вычислить площадь основания \(A\). Для этого подставим значения в формулу:

\[A = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \sin(90)\]

Так как синус 90 градусов равен 1, мы можем упростить выражение:

\[A = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times 1 = 12 \, \text{см}^2\]

Теперь у нас есть значение площади основания \(A\). Осталось только найти высоту пирамиды \(h\). Для этого можем использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного основанием и одним из ребер пирамиды.

Высота пирамиды \(h\) будет являться катетом этого треугольника, а гипотенузой будет ребро пирамиды. Мы можем вычислить \(h\) используя формулу:

\[h = \sqrt{\text{гипотенузы}^2 - \text{катета}^2}\]

В нашем случае гипотенуза равна стороне основания, которая равна 4 см.

\[h = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}\]

Теперь у нас есть значение площади основания и высоты пирамиды. Мы можем использовать формулу объема пирамиды, чтобы найти итоговое значение:

\[V = \frac{1}{3} \times A \times h = \frac{1}{3} \times 12 \, \text{см}^2 \times \sqrt{7} \, \text{см} = 4\sqrt{7} \, \text{см}^3\]

Ответ: объем основы правильной треугольной усеченной пирамиды составляет \(4\sqrt{7} \, \text{см}^3\).