Каков объем параллелепипеда со сторонами, основание которого представляет собой ромб с диагоналями 6 см и 8

Черепашка_Ниндзя

55

Конечно! Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулу для вычисления объема параллелепипеда. Объем параллелепипеда можно найти, умножив площадь основания на высоту.

Для начала нарисуем ромб с заданными диагоналями, чтобы было более наглядно:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
& & A \\
& / & \backslash & \\
B & & & C \\
& \backslash & / & \\
& & D \\
\end{{array}}
\]

По условию, диагонали ромба равны 6 см и 8 см, а боковое ребро параллелепипеда равно 10 см. Пометим высоту параллелепипеда буквой \(h\).

Мы можем заметить, что диагонали ромба являются диагоналями одной из граней параллелепипеда. Изобразим это на нашем рисунке:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
& & A \\
& / & \backslash & \\
B & & & C \\
& \backslash & / & \\
& & D & \\
& & | & \\
& & E & \\
\end{{array}}
\]

Обозначим точку пересечения диагоналей ромба как \(E\). Также заметим, что отрезок \(AE\) является высотой параллелепипеда.

Из треугольников \(\triangle AEB\) и \(\triangle AEC\) мы можем найти высоту \(AE\). Рассмотрим треугольник \(\triangle AEB\):

\[
\begin{{array}}{{ccc}}
& & A \\
& / & \backslash & \\
B & & & C \\
& \backslash & / & \\
& & D & \\
& & | & \\
& & E & \\
& & | & \\
& & \frac{{6 \, \text{{см}}}}{2} & \\
\end{{array}}
\]

Так как \(E\) является серединой диагонали ромба, отрезок \(BE\) будет равен половине длины диагонали. То есть, \(BE = \frac{{6 \, \text{{см}}}}{2} = 3 \, \text{{см}}\).

Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle AEC\):

\[
\begin{{array}}{{ccccc}}
& & & A \\
& & / & \backslash & \\
B & & & E & C \\
& \backslash & / & \\
& & D & \\
& & | & \\
& & 8 \, \text{{см}} & \\
\end{{array}}
\]

Так как \(E\) является серединой диагонали ромба, отрезок \(EC\) также будет равен половине длины диагонали. То есть, \(EC = \frac{{8 \, \text{{см}}}}{2} = 4 \, \text{{см}}\).

Теперь мы можем найти высоту \(AE\) с помощью теоремы Пифагора в треугольнике \(\triangle AEB\):

\[
AE = \sqrt{{AB^2 - BE^2}}
\]

Подставив значения, получим:

\[
AE = \sqrt{{6^2 - 3^2}} = \sqrt{{36 - 9}} = \sqrt{{27}} = 3\sqrt{{3}} \, \text{{см}}
\]

Высота параллелепипеда равна \(AE = 3\sqrt{{3}} \, \text{{см}}\).

Теперь мы можем найти площадь основания ромба. Площадь ромба можно найти, умножив длины его диагоналей и разделив полученное значение на 2:

\[
S_{\text{{осн}}} = \frac{{AB \cdot CD}}{2} = \frac{{6 \cdot 8}}{2} = 24 \, \text{{см}}^2
\]

Теперь, чтобы найти объем параллелепипеда, умножим площадь основания на высоту:

\[
\text{{Объем}} = S_{\text{{осн}}} \cdot h = 24 \, \text{{см}}^2 \cdot 3\sqrt{{3}} \, \text{{см}} = 72\sqrt{{3}} \, \text{{см}}^3
\]

Таким образом, объем параллелепипеда составляет \(72\sqrt{{3}} \, \text{{см}}^3\).