Каков объем пирамиды, если AD=BD=CD, AB=18, AC=BC=15, и tg(AD,ABC)=0.8?

Татьяна

40

Чтобы найти объем пирамиды, нам нужно знать ее высоту и площадь основания. В нашем случае основание пирамиды — это треугольник АВС, а АD, BD и CD — это высота пирамиды. Дано, что AD=BD=CD, поэтому эти отрезки являются высотами треугольника.

Сначала найдем площадь треугольника АВС. Пусть h будет высота треугольника, АЕ будет перпендикулярной высотой, АС будет основанием треугольника, а АD будет высотой пирамиды. Так как tg(AD,ABC)=0.8, мы можем записать соотношение:

tg(АЕ,ABC) = tg(AD,ABC) = 0.8 (1)

Также, мы знаем, что АЕ + ЕС = АС. В нашем случае АС = 15, поэтому АЕ + ЕС = 15. Мы также можем заметить, что прямоугольный треугольник АЕС с вершиной в точке С имеет две равные катеты (AE и EC) и угол, равный тангенсу AD. Поэтому у нас есть прямоугольный треугольник с равными катетами и углом, и мы можем применить следующее соотношение:

tg(АЕ,ABC) = tg(АЕ,АС) = AE / EC (2)

Из уравнений (1) и (2) мы получаем:

0.8 = AE / EC

Так как мы знаем, что AE + EC = 15, мы можем решить эту систему уравнений и найти значения AE и EC.

AE + EC = 15 (3)
0.8 = AE / EC (4)

Можно решить уравнение (3) относительно AE, выразив AE через EC:

AE = 15 - EC

Подставим это значение AE в уравнение (4):

0.8 = (15 - EC) / EC

Решим это уравнение относительно EC:

0.8EC = 15 - EC
1.8EC = 15
EC = 15 / 1.8 ≈ 8.3333

Теперь, когда у нас есть значение EC, мы можем подставить его обратно в уравнение (3) и найти значение AE:

AE + 8.3333 = 15
AE = 15 - 8.3333 ≈ 6.6667

Таким образом, мы нашли значения AE и EC: AE ≈ 6.6667 и EC ≈ 8.3333.

Теперь мы можем найти площадь треугольника АВС, используя формулу для площади треугольника через основание и высоту:

S(АВС) = (1/2) * АС * АD (5)

Подставим значения: АС = 15, АD = 6.6667.

S(АВС) = (1/2) * 15 * 6.6667
S(АВС) ≈ 50

Итак, площадь треугольника АВС примерно равна 50 квадратных единиц.

Наконец, чтобы найти объем пирамиды, умножим площадь основания на высоту:

V = S(АВС) * АD
V ≈ 50 * 6.6667
V ≈ 333.335

Таким образом, объем пирамиды составляет примерно 333.335 кубических единиц.