а) Каков объем усеченной четырехугольной пирамиды с равными сторонами верхнего и нижнего оснований, равными 2 корень
а) Каков объем усеченной четырехугольной пирамиды с равными сторонами верхнего и нижнего оснований, равными 2 корень из 3 дм и 4 корень из 4 дм соответственно, и двукратным углом 60 градусов при ребре нижнего основания?
б) Найти объем треугольной усеченной пирамиды с равными сторонами верхнего и нижнего оснований, равными 2 корень из 3 дм и 4 корень из 4 дм соответственно, и двукратным углом 60 градусов при ребре нижнего основания.
б) Найти объем треугольной усеченной пирамиды с равными сторонами верхнего и нижнего оснований, равными 2 корень из 3 дм и 4 корень из 4 дм соответственно, и двукратным углом 60 градусов при ребре нижнего основания.
Морской_Пляж 45
Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о формуле объема пирамиды и теореме косинусов для нахождения высоты пирамиды.a) Для начала, рассчитаем длину ребра нижнего основания \(a\). У нас уже дано, что длина ребра нижнего основания равна 4 корень из 4 дм. Просто найдем значение этого выражения:
\[a = 4 \sqrt{4} \text{ дм}\]
\[a = 4 \cdot 2 = 8 \text{ дм}\]
Теперь рассчитаем высоту пирамиды \(h\) с помощью теоремы косинусов. Угол между ребром нижнего основания и высотой пирамиды равен двукратному углу 60 градусов, то есть 120 градусов. Длина ребра нижнего основания равна 8 дм. Таким образом:
\[h^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)\]
\[h^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)\]
\[h^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 64 \cdot \frac{-1}{2}\]
\[h^2 = 64 + 64 + 64\]
\[h^2 = 192\]
\[h = \sqrt{192} \text{ дм}\]
Теперь, для нахождения объема усеченной четырехугольной пирамиды, воспользуемся формулой:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{нижнеnода основания}} \cdot h\]
где \(S_{\text{нижнего основания}}\) - площадь нижнего основания пирамиды.
Зная, что площадь четырехугольника равна полупроизведению диагоналей, можем найти площадь нижнего основания:
\[S_{\text{нижнего основания}} = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{4}) = 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{4} = 16\sqrt{3} \text{ дм}^2\]
Теперь можем найти объем усеченной пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \text{ дм}^2 \cdot \sqrt{192} \text{ дм} = \frac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{192}}{3} \text{ дм}^3 = \frac{16 \cdot 8\sqrt{3}}{3}\sqrt{6} \text{ дм}^3 = \frac{128\sqrt{18}}{3} \text{ дм}^3\]
b) Процедура для нахождения объема треугольной усеченной пирамиды аналогична, поэтому приступим сразу к решению.
\(a = 4 \sqrt{4} \text{ дм} = 8 \text{ дм}\)
Высоту пирамиды \(h\) можно найти с помощью теоремы косинусов:
\[h^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = 192 \text{ дм}^2\]
\[h = \sqrt{192} \text{ дм}\]
Площадь нижнего основания пирамиды:
\[S_{\text{нижнего основания}} = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{4}) = 16\sqrt{3} \text{ дм}^2\]
Объем треугольной усеченной пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \text{ дм}^2 \cdot \sqrt{192} \text{ дм} = \frac{16\sqrt{3} \cdot \sqrt{192}}{3} \text{ дм}^3 = \frac{16 \cdot 8\sqrt{3}}{3}\sqrt{6} \text{ дм}^3 = \frac{128\sqrt{18}}{3} \text{ дм}^3\]
Итак, получили, что объем усеченных пирамид одинаков и равен \(\frac{128\sqrt{18}}{3}\) кубических дециметров.