а) Каков объем усеченной четырехугольной пирамиды с равными сторонами верхнего и нижнего оснований, равными 2 корень

Морской_Пляж

45

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о формуле объема пирамиды и теореме косинусов для нахождения высоты пирамиды.

a) Для начала, рассчитаем длину ребра нижнего основания $a$. У нас уже дано, что длина ребра нижнего основания равна 4 корень из 4 дм. Просто найдем значение этого выражения:

$$a=4\sqrt{4}\text{ дм}$$
$$a=4\cdot 2=8\text{ дм}$$

Теперь рассчитаем высоту пирамиды $h$ с помощью теоремы косинусов. Угол между ребром нижнего основания и высотой пирамиды равен двукратному углу 60 градусов, то есть 120 градусов. Длина ребра нижнего основания равна 8 дм. Таким образом:

$$h^2=a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cdot \cos ({120}^{\circ })$$
$$h^2=64+64-2\cdot 8\cdot 8\cdot \cos ({120}^{\circ })$$
$$h^2=64+64-2\cdot 64\cdot \frac{-1}{2}$$
$$h^2=64+64+64$$
$$h^2=192$$
$$h=\sqrt{192}\text{ дм}$$

Теперь, для нахождения объема усеченной четырехугольной пирамиды, воспользуемся формулой:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{нижнеnода основания}}\cdot h$$

где $S_{\text{нижнего основания}}$ - площадь нижнего основания пирамиды.

Зная, что площадь четырехугольника равна полупроизведению диагоналей, можем найти площадь нижнего основания:

$$S_{\text{нижнего основания}}=\frac{1}{2}\cdot (2\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{4})=4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{4}=16\sqrt{3}{\text{ дм}}^2$$

Теперь можем найти объем усеченной пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 16\sqrt{3}{\text{ дм}}^2\cdot \sqrt{192}\text{ дм}=\frac{16\sqrt{3}\cdot \sqrt{192}}{3}{\text{ дм}}^3=\frac{16\cdot 8\sqrt{3}}{3}\sqrt{6}{\text{ дм}}^3=\frac{128\sqrt{18}}{3}{\text{ дм}}^3$$

b) Процедура для нахождения объема треугольной усеченной пирамиды аналогична, поэтому приступим сразу к решению.

$a=4\sqrt{4}\text{ дм}=8\text{ дм}$

Высоту пирамиды $h$ можно найти с помощью теоремы косинусов:

$$h^2=a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cdot \cos ({120}^{\circ })=192{\text{ дм}}^2$$
$$h=\sqrt{192}\text{ дм}$$

Площадь нижнего основания пирамиды:

$$S_{\text{нижнего основания}}=\frac{1}{2}\cdot (2\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{4})=16\sqrt{3}{\text{ дм}}^2$$

Объем треугольной усеченной пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 16\sqrt{3}{\text{ дм}}^2\cdot \sqrt{192}\text{ дм}=\frac{16\sqrt{3}\cdot \sqrt{192}}{3}{\text{ дм}}^3=\frac{16\cdot 8\sqrt{3}}{3}\sqrt{6}{\text{ дм}}^3=\frac{128\sqrt{18}}{3}{\text{ дм}}^3$$

Итак, получили, что объем усеченных пирамид одинаков и равен $\frac{128\sqrt{18}}{3}$ кубических дециметров.