Какова площадь четвертого четырехугольника, если мы соединяем точку внутри квадрата с серединами его сторон и уже знаем

Весенний_Сад

7

Данная задача предлагает рассмотреть четырехугольник, который получается соединением точки внутри квадрата с серединами его сторон. Мы уже знаем площади трех из четырех получившихся четырехугольников и должны определить площадь четвертого четырехугольника.

Для начала, давайте обозначим площади уже известных четырехугольников. Пусть \(S_1, S_2, S_3\) - площади трех известных четырехугольников.

Теперь вспомним, что квадрат имеет равные стороны и все его углы прямые. Поскольку мы построили четвертый четырехугольник, соединив точку внутри квадрата с серединами его сторон, можем заметить, что этот четырехугольник состоит из двух прямоугольных треугольников.

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованный одной стороной четвертого четырехугольника и двумя сторонами квадрата. Обозначим сторону квадрата через \(a\).

Так как сторона квадрата равна \(a\), то стороны прямоугольного треугольника, составляющего с квадратом четвертый четырехугольник, равны \(a\), \(a\) и \(a\sqrt{2}\) (по теореме Пифагора).

Теперь вычислим площадь этого прямоугольного треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения катетов, то есть \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{2} = \frac{a^2 \sqrt{2}}{2}\).

Однако нам нужно найти площадь всего четвертого четырехугольника, а не только одного из прямоугольных треугольников. Так как оба прямоугольных треугольника в четвертом четырехугольнике имеют одинаковую площадь, можем утверждать, что площадь всего четырехугольника равна удвоенной площади одного прямоугольного треугольника.

Таким образом, площадь четвертого четырехугольника равна \(2 \cdot \frac{a^2 \sqrt{2}}{2} = a^2 \sqrt{2}\).

В итоге, площадь четвертого четырехугольника равна \(a^2 \sqrt{2}\).