Каков объем пирамиды SABC, основание которой образует прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине С, а радиус

Stanislav

27

Чтобы найти объем пирамиды, мы можем воспользоваться формулой:

\[
V = \frac{1}{3} \times S \times h
\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

У нас есть информация о площади основания пирамиды \(S = 12\sqrt{2} \, \text{см}^2\).

Чтобы найти высоту пирамиды \(h\), давайте рассмотрим треугольник ABC. У нас есть прямоугольный треугольник BAC с прямым углом в вершине C. Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 3 см.

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника BAC, это половина гипотенузы треугольника BAC. Таким образом, гипотенуза треугольника BAC равна \(2 \times 3 = 6\) см.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы.

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]

\[
6^2 = AB^2 + BC^2
\]

\[
36 = AB^2 + BC^2
\]

Так как грань ABS наклонена к плоскости основания под углом 60°, то угол между гранью ABS и гранью ACS также составляет 60°.

Мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[
S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)
\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины сторон, \(C\) - угол между сторонами.

У нас есть площадь грани ABS (\(S = 12\sqrt{2} \, \text{см}^2\)) и угол между сторонами (\(C = 60\)). Мы также знаем, что сторона AB равна 6 см.

Мы можем переписать формулу для площади треугольника, чтобы найти вторую сторону BC:

\[
12\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 6 \times BC \times \sin(60)
\]

\[
12\sqrt{2} = 3 \times BC \times \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

\[
4\sqrt{2} = BC \times \sqrt{3}
\]

\[
BC = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
\]

Мы можем упростить эту дробь, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[
BC = \frac{4\sqrt{6}}{3}
\]

Теперь, зная длины сторон AB и BC, мы можем рассчитать высоту пирамиды \(h\) с помощью теоремы Пифагора:

\[
h^2 = AB^2 - BC^2
\]

\[
h^2 = 6^2 - \left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)^2
\]

\[
h^2 = 36 - \frac{96}{9}
\]

\[
h^2 = 36 - \frac{32}{3}
\]

\[
h^2 = \frac{108 - 32}{3}
\]

\[
h^2 = \frac{76}{3}
\]

\[
h = \sqrt{\frac{76}{3}}
\]

\[
h = \frac{2\sqrt{57}}{\sqrt{3}}
\]

Теперь у нас есть значения для \(S\) (площадь основания пирамиды) и \(h\) (высота пирамиды). Мы можем подставить эти значения в формулу для объема пирамиды, чтобы найти искомый объем:

\[
V = \frac{1}{3} \times 12\sqrt{2} \times \frac{2\sqrt{57}}{\sqrt{3}}
\]

Упростим выражение:

\[
V = \frac{1}{3} \times 12 \times 2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{57} \times \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

\[
V = 8\sqrt{2}\sqrt{57}\frac{1}{\sqrt{3}}
\]

\[
V = \frac{8\sqrt{2\cdot57}}{\sqrt{3}}
\]

\[
V = \frac{8\sqrt{114}}{\sqrt{3}}
\]

Итак, объем пирамиды SABC равен \(\frac{8\sqrt{114}}{\sqrt{3}}\) кубических сантиметров.