Каково значение выражения 4tg2 120+4 sin2 120-3cos 90 ctg 100 (где 120, 90 и 100 выражены в градусах)?

Leonid

22

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с каждым слагаемым по отдельности.

Первое слагаемое: \(4\text{tg}^2 120\).

Используя формулу тангенса:
\(\text{tg} \theta = \frac{{\text{sin} \theta}}{{\text{cos} \theta}}\),
мы можем заменить тангенс на отношение синуса и косинуса:
\(\text{tg}^2 \theta = \left(\frac{{\text{sin} \theta}}{{\text{cos} \theta}}\right)^2\).

Мы знаем, что \(\text{sin} 120 = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\) и \(\text{cos} 120 = -\frac{1}{2}\),
потому что \(120\) градусов находится в третьем квадранте.

Подставляем значения:
\(4\text{tg}^2 120 = 4\left(\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{-\frac{1}{2}}}\right)^2 = 4\left(\frac{{-2\sqrt{3}}}{{1}}\right)^2 = 4 \cdot (-2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 4 \cdot 3 = 48\).

Второе слагаемое: \(4\text{sin}^2 120\).

Мы знаем, что \(\text{sin} 120 = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\),
потому что \(120\) градусов находится в третьем квадранте.

Подставляем значение:
\(4\text{sin}^2 120 = 4\left(\frac{{\sqrt{3}}}{2}\right)^2 = 4 \cdot \left(\frac{{3}}{{4}}\right) = 3\).

Третье слагаемое: \(-3\text{cos} 90\).

Мы знаем, что \(\text{cos} 90 = 0\),
потому что \(90\) градусов находится на оси ординат.

Подставляем значение:
\(-3\text{cos} 90 = -3 \cdot 0 = 0\).

Четвертое слагаемое: \(\text{ctg} 100\).

Используя формулу котангенса:
\(\text{ctg} \theta = \frac{1}{{\text{tan} \theta}}\),
мы можем заменить котангенс на обратное значение тангенса.

Мы знаем, что \(\text{tan} 100 = -\frac{{\sqrt{3}}}{3}\),
потому что \(100\) градусов находится в третьем квадранте.

Подставляем значение:
\(\text{ctg} 100 = \frac{1}{{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}} = -\frac{3}{{\sqrt{3}}} = -\sqrt{3}\).

Теперь, когда мы разобрались со слагаемыми, мы можем вычислить выражение:
\(4\text{tg}^2 120 + 4\text{sin}^2 120 - 3\text{cos} 90 + \text{ctg} 100 = 48 + 3 + 0 - \sqrt{3} = 51 - \sqrt{3}\).

Таким образом, значение исходного выражения равно \(51 - \sqrt{3}\).