Каков объем правильной четырехугольной пирамиды с боковой гранью, образующей угол с плоскостью основания? Основание

Ласка

55

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые знания о правильных четырехугольных пирамидах и их объемах.

Правильная четырехугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является четырехугольником, все стороны которого равны, а все углы прямые. В нашем случае, мы имеем правильную четырехугольную пирамиду и основание пирамиды является квадратом, так как у него все стороны равны.

Для расчета объема правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды.

Площадь основания можно посчитать с помощью формулы \( S_{\text{осн}} = a^2 \), где \( a \) - длина стороны основания (которая в нашем случае равна 8).

Теперь остается найти высоту пирамиды. У нас есть информация, что боковая грань пирамиды образует угол с плоскостью основания. Это говорит нам о том, что нам нужно найти высоту пирамиды, проходящую через вершину пирамиды и перпендикулярную плоскости основания.

Обратите внимание, что так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то боковая грань будет равносторонним треугольником.

Чтобы найти высоту треугольника (а следовательно и пирамиды), мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения одного из катетов треугольника. Таким образом, у нас есть сторона квадрата, которая равна 8, и две равные стороны треугольника, исходящие из вершины пирамиды. Обозначим сторону треугольника как \(b\).

Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, мы получим:

\[b^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
\[b^2 = 8^2 - \left(\frac{8}{2}\right)^2\]
\[b^2 = 64 - 16\]
\[b^2 = 48\]
\[b = \sqrt{48}\]

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику, образованному вершиной пирамиды, высотой пирамиды и катетом этого треугольника \(b\):

\[h^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2\]
\[h^2 = \left(\frac{8}{2}\right)^2 + \sqrt{48}^2\]
\[h^2 = 4^2 + 48\]
\[h^2 = 16 + 48\]
\[h^2 = 64\]
\[h = \sqrt{64}\]
\[h = 8\]

Итак, мы нашли высоту пирамиды, которая равна 8.

Теперь мы можем приступить к расчету объема пирамиды с помощью формулы \( V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h \), где \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания, \( h \) - высота.

Подставляя известные значения:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot 8^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 512 = 170.67 \]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды с боковой гранью, образующей угол с плоскостью основания, равен 170.67.