Каков объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 10 см и основанием, образующим двугранный угол 60 градусов?

Valentin

46

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, сначала необходимо найти площадь ее основания. Затем, используя эту площадь и высоту пирамиды, можно вычислить объем с помощью формулы \( V = \frac{1}{3} \times S \times H \), где \( V \) - объем, \( S \) - площадь основания, а \( H \) - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания. Основание пирамиды образует двугранный угол 60 градусов, что означает, что это равносторонний треугольник с углами по 60 градусов каждый. Радиус описанной окружности этого треугольника является высотой пирамиды, поэтому радиус равен 10 см.

Используя формулу для площади равностороннего треугольника, \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \), где \( S \) - площадь, \( a \) - длина стороны треугольника, найдем площадь основания пирамиды.

Так как это равносторонний треугольник, сторона также равна 10 см. Подставляем значение:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 10^2 \]
\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100 \]
\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100 \]
\[ S = 25\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Теперь, когда у нас есть площадь основания \( S = 25\sqrt{3} \, \text{см}^2 \) и высота \( H = 10 \, \text{см} \), мы можем найти объем \( V \) пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times 25\sqrt{3} \times 10 \]
\[ V = \frac{250\sqrt{3}}{3} \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 10 см и основанием, образующим двугранный угол 60 градусов, составляет \( \frac{250\sqrt{3}}{3} \, \text{см}^3 \).