Каков объем правильной шестиугольной призмы с основанием стороной 2 см и равными боковыми ребрами?

Antonovich

25

Хорошо! Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся формулой для объема призмы. Объем \(\text{В}\) призмы определяется как произведение площади основания \(S\) на высоту \(h\):

\[\text{В} = S \times h\]

В данном случае основание призмы - это правильный шестиугольник, а площадь правильного шестиугольника \(S\) мы можем вычислить. Так как все стороны в правильном шестиугольнике равны, мы можем разложить его на равносторонний треугольник со стороной 2 см и шести треугольников, таким образом образуется шестиугольник.

Для вычисления площади правильного шестиугольника, мы можем разделить его на равносторонний треугольник и затем использовать формулу для площади равностороннего треугольника. Формула площади равностороннего треугольника:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \times a^{2}\]

Где \(a\) - длина стороны треугольника. В нашем случае, сторона равна 2 см, поэтому мы можем подставить эту информацию в формулу:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \times 2^{2}\]

Вычислив площадь одного треугольника, мы можем умножить ее на 6, чтобы получить площадь всего шестиугольника.

\[S = 6 \times S_{\text{треугольника}}\]

Теперь, когда у нас есть площадь основания, нам нужно вычислить высоту \(h\) призмы. Высота призмы - это расстояние между основаниями. В нашем случае, хотя не указано явно, предположим, что боковые ребра также равны 2 см, так как говорится, что призма "с основанием стороной 2 см и равными боковыми ребрами". Поскольку боковые ребра равны сторонам основания (2 см), высота равна длине любого из боковых ребер.

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы вычислить объем призмы. Подставим значения в формулу для объема:

\[\text{В} = S \times h\]

\[\text{В} = (6 \times S_{\text{треугольника}}) \times 2\]

Теперь давайте посчитаем все значения и найдем объем правильной шестиугольной призмы:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \times 2^{2} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \times 4 = \sqrt{3}\]

\[S = 6 \times S_{\text{треугольника}} = 6 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3}\]

\[\text{В} = (6 \times S_{\text{треугольника}}) \times 2 = (6 \sqrt{3}) \times 2 = 12\sqrt{3}\]

Итак, объем правильной шестиугольной призмы с основанием стороной 2 см и равными боковыми ребрами равен \(12\sqrt{3}\) кубических сантиметров.