Каков объем правильной треугольной пирамиды, если ее высота составляет 8 см, а двугранный угол между боковой площадью

Сквозь_Холмы_2988

56

Чтобы решить задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Понимание условия задачи.
В условии задачи говорится о правильной треугольной пирамиде. Правильная треугольная пирамида имеет основание в форме равностороннего треугольника, а все ее боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Шаг 2: Нахождение площади основания.
Так как треугольник является равносторонним, все его стороны равны. Обозначим длину стороны треугольника как a. Площадь равностороннего треугольника можно найти с помощью следующей формулы:
\[S_{основания} = \frac{\sqrt{3}a^2}{4}\]

Шаг 3: Нахождение площади боковых граней.
Так как пирамида является правильной, все ее боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Диаграмма покажет, что угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 30 градусам.

Шаг 4: Нахождение высоты бокового треугольника.
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная из вершины угла, делит его на две равные части. Обозначим высоту бокового треугольника как h. Тогда, применяя тригонометрический закон к треугольнику, мы можем найти, что \( h = a \cdot \sin(30^\circ) \).

Шаг 5: Нахождение площади боковых граней.
Площадь боковой грани равна половине произведения длины основания и высоты бокового треугольника. То есть, \( S_{боковой} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \).

Шаг 6: Нахождение объема пирамиды.
Объем пирамиды можно найти, используя формулу:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h \]
где \( S_{основания} \) - площадь основания, а h - высота пирамиды.

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем подставить и рассчитать их.

Перейдем к численным значениям: длина стороны основания треугольника a равна 8 см, а угол между боковой площадью и плоскостью основания составляет 30 градусов.

Вычислим значения:
\[ S_{основания} = \frac{\sqrt{3} \cdot 8^2}{4} = 16\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
\[ h = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \, \text{см} \]
\[ S_{боковой} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16 \, \text{см}^2 \]
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 4 = \frac{64\sqrt{3}}{3} \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем данной правильной треугольной пирамиды составляет \( \frac{64\sqrt{3}}{3} \) кубических сантиметра.