Каков объём правильной треугольной пирамиды, если её высота составляет 40 см, а угол между боковой гранью и плоскостью

Veselyy_Kloun

2

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, мы должны знать высоту и угол между боковой гранью и плоскостью основания. В данной задаче, нам даны высота пирамиды, \(h = 40\) см, и угол между боковой гранью и плоскостью основания, \(\theta = 30\)°.

Объем \(V\) правильной треугольной пирамиды можно найти с помощью следующей формулы:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{бок}} \times h\]

где \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности пирамиды.

Чтобы найти площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\), нам понадобится формула:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times a \times p\]

где \(a\) - длина стороны основания равностороннего треугольника, \(p\) - периметр основания.

Так как у нас правильная треугольная пирамида, все стороны основания равны, поэтому \(a\) - это длина любой стороны треугольника основания.

Найдем длину стороны основания, зная угол \(\theta = 30\)°:

\[a = 2 \times h \times \tan(\theta)\]

Подставляя известные значения, получим:

\[a = 2 \times 40 \times \tan(30°) \approx 53.864\] см.

Теперь найдем периметр основания \(p\):

\[p = 3 \times a \approx 3 \times 53.864 \approx 161.592\] см.

Теперь можно вычислить площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\):

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 53.864 \times 161.592 \approx 4347.115\] см².

Наконец, подставим значение площади боковой поверхности в формулу для объема:

\[V = \frac{1}{3} \times 4347.115 \times 40 = 57961.54\] см³.

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды составляет примерно 57961.54 см³.