Каков объем правильной треугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно 6 см и угол между этим ребром и плоскостью

Groza

17

Чтобы найти объем данной треугольной пирамиды, нам понадобится знать формулу для вычисления объема пирамиды и значения соответствующих сторон. Формула для объема треугольной пирамиды выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times H\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, \(H\) - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания пирамиды. У нас имеется правильный треугольник, поэтому площадь его основания можно вычислить с помощью формулы:

\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\]

где \(a\) - длина стороны треугольника.

У нас дано, что боковое ребро пирамиды равно 6 см, а треугольник является правильным, поэтому все его стороны равны. Таким образом, длина стороны треугольника \(a\) равна 6 см.

Подставим данное значение в формулу площади основания и получим:

\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3} \times 36}{4} = \frac{6\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

Теперь мы можем вычислить объем пирамиды, подставив известные значения в формулу:

\[V = \frac{1}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} \times H = \frac{\sqrt{3}}{2} \times H\]

Нам осталось найти высоту пирамиды \(H\). Зная, что угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60 градусов, мы можем применить тригонометрические соотношения для нахождения высоты.

Высоту пирамиды \(H\) можно найти следующим образом:

\[H = \sin(60^\circ) \times \text{боковое ребро}\]

Мы знаем, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), а боковое ребро равно 6 см. Подставим значения в формулу и найдем высоту:

\[H = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3} \text{ см}\]

Теперь мы можем найти окончательное значение объема пирамиды, подставив найденное значение высоты в формулу объема:

\[V = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ см}^3\]

Итак, объем данной правильной треугольной пирамиды равен \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\) кубических сантиметров.