Каков объем правильной треугольной призмы с основанием, равным 200 см, при условии, что диагональ боковой грани

Зимний_Мечтатель

24

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулу для объема призмы. Однако, перед тем как приступить к самому решению, давайте разберемся в некоторых понятиях.

Правильная треугольная призма - это призма, у которой основание является равносторонним треугольником.

Обозначим сторону треугольника $a$, а высоту призмы $h$. Так как основание является равносторонним треугольником, его длина равна 200 см.

Чтобы получить объем призмы, мы умножаем площадь основания на высоту:

$$V=S\cdot h$$

Площадь основания треугольной призмы можно найти по формуле для площади треугольника:

$$S={\displaystyle \frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}}$$

Теперь давайте найдем длину стороны $a$. У нас есть равносторонний треугольник с длиной стороны 200 см. Это означает, что все стороны равны 200 см.

$$a=200\text{см}$$

Теперь у нас есть все данные, чтобы решить задачу. Расчеты следующие:

$$V={\displaystyle \frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}}\cdot h$$

Подставим значения:

$$V={\displaystyle \frac{(200\text{см}{)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}}\cdot h$$

Так как диагональ боковой грани образует угол 60 градусов с плоскостью основания, высота призмы будет равна длине боковой грани, умноженной на $\sin ({60}^{\circ })$.

$$h=a\cdot \sin ({60}^{\circ })$$

$$h=200\text{см}\cdot \sin ({60}^{\circ })$$

Используя значения синуса 60 градусов ($\sin ({60}^{\circ })={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$), можем продолжить расчеты:

$$h=200\text{см}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$

Теперь, подставим это значение в исходную формулу для объема призмы:

$$V={\displaystyle \frac{(200\text{см}{)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}}\cdot 200\text{см}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$

Теперь, остается только выполнить вычисления:

$$V={\displaystyle \frac{40000{\text{см}}^2\cdot \sqrt{3}}{4}}\cdot 200\text{см}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$

$$V={\displaystyle \frac{40000\cdot 3\cdot 200\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{4\cdot 2}}{\text{см}}^3$$

$$V={\displaystyle \frac{24000000\cdot 3}{8}}{\text{см}}^3$$

$$V=9000000{\text{см}}^3$$

Таким образом, объем правильной треугольной призмы с основанием 200 см при условии, что диагональ боковой грани образует угол 60 градусов с плоскостью основания, составляет 9000000 кубических сантиметров.