Каков объем правильной треугольной призмы с основанием, равным 200 см, при условии, что диагональ боковой грани

Зимний_Мечтатель

24

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать формулу для объема призмы. Однако, перед тем как приступить к самому решению, давайте разберемся в некоторых понятиях.

Правильная треугольная призма - это призма, у которой основание является равносторонним треугольником.

Обозначим сторону треугольника \(a\), а высоту призмы \(h\). Так как основание является равносторонним треугольником, его длина равна 200 см.

Чтобы получить объем призмы, мы умножаем площадь основания на высоту:

\[ V = S \cdot h \]

Площадь основания треугольной призмы можно найти по формуле для площади треугольника:

\[ S = \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \]

Теперь давайте найдем длину стороны \(a\). У нас есть равносторонний треугольник с длиной стороны 200 см. Это означает, что все стороны равны 200 см.

\[ a = 200 \, \text{см} \]

Теперь у нас есть все данные, чтобы решить задачу. Расчеты следующие:

\[ V = \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot h \]

Подставим значения:

\[ V = \dfrac{(200 \, \text{см})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot h \]

Так как диагональ боковой грани образует угол 60 градусов с плоскостью основания, высота призмы будет равна длине боковой грани, умноженной на \(\sin(60^\circ)\).

\[ h = a \cdot \sin(60^\circ) \]

\[ h = 200 \, \text{см} \cdot \sin(60^\circ) \]

Используя значения синуса 60 градусов (\(\sin(60^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)), можем продолжить расчеты:

\[ h = 200 \, \text{см} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь, подставим это значение в исходную формулу для объема призмы:

\[ V = \dfrac{(200 \, \text{см})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 200 \, \text{см} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь, остается только выполнить вычисления:

\[ V = \dfrac{40000 \, \text{см}^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 200 \, \text{см} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ V = \dfrac{40000 \cdot 3 \cdot 200 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{4 \cdot 2} \, \text{см}^3 \]

\[ V = \dfrac{24000000 \cdot 3}{8} \, \text{см}^3 \]

\[ V = 9000000 \, \text{см}^3 \]

Таким образом, объем правильной треугольной призмы с основанием 200 см при условии, что диагональ боковой грани образует угол 60 градусов с плоскостью основания, составляет 9000000 кубических сантиметров.