Каков объем призмы, если в него вписан цилиндр с боковой поверхностью, равной 10π, основание призмы представляет собой

Золотой_Лорд

52

Для решения этой задачи нам необходимо разбить ее на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем высоту призмы.
У нас есть ромб в основании призмы с углом 45°. Поскольку в ромбе соседние стороны перпендикулярны, то все его углы равны 90°. Таким образом, этот ромб является квадратом. Пусть сторона квадрата равна a.
Так как у нас имеется прямоугольный треугольник с катетами a и a, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти диагональ ромба, которая также является высотой призмы.
Согласно теореме Пифагора, \[a^2 + a^2 = h^2\]
\[2a^2 = h^2\]
\[h = \sqrt{2a^2}\]
\[h = \sqrt{2}a\]

Шаг 2: Найдем радиус цилиндра.
У нас имеется цилиндр, вписанный в призму, и известно, что боковая поверхность цилиндра равна 10π. Боковая поверхность цилиндра - это прямоугольная часть цилиндра, которая оборачивается вокруг него и не включает в себя два основания.
Формула для боковой поверхности цилиндра: \(S_{\text{бок}} = 2\pi r h_{\text{цилиндра}}\), где \(r\) - радиус цилиндра, \(h_{\text{цилиндра}}\) - высота цилиндра.
Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти \(r\) при известном \(h_{\text{цилиндра}}\).
Итак, у нас есть \(S_{\text{бок}} = 10\pi\) и \(h_{\text{цилиндра}} = \sqrt{2}a\).
Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно \(r\):
\[10\pi = 2\pi r \cdot \sqrt{2}a\]
\[5 = r \cdot \sqrt{2}a\]
\[r = \frac{5}{\sqrt{2}a}\]

Шаг 3: Найдем объем призмы.
Объем призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту.
Формула для площади основания призмы: \(S_{\text{осн}} = a^2\)
Формула для объема призмы: \(V = S_{\text{осн}} \cdot h\)
Подставим известные значения в формулу и решим уравнение:
\[V = a^2 \cdot \sqrt{2}a\]
\[V = \sqrt{2}a^3\]

Таким образом, объем призмы равен \(\sqrt{2}a^3\), где \(a\) является длиной стороны ромба в основании призмы.