Каков объем прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны 15дм и 20дм, а диагональ образует

Лука

30

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нужно знать длины трех его сторон: длину основания (длину прямоугольника) и расстояния между этим основанием и противоположным ему основанием - высоту прямоугольного параллелепипеда. В данной задаче, нам известны две стороны основания прямоугольника - 15 дм и 20 дм, и угол между основанием и диагональю, который равен 60 градусам.

Для дальнейших рассуждений нам потребуется найти высоту прямоугольного параллелепипеда. Диагональ параллелепипеда является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного одной из сторон основания, высоты и диагонали. При этом, угол между основанием и диагональю параллелепипеда равен 60 градусам.

Мы знаем две стороны треугольника - 15 дм и 20 дм, а также угол между ними - 60 градусов. Можно воспользоваться формулами тригонометрии для нахождения третьей стороны треугольника и далее высоты параллелепипеда. По формуле косинусов получим:

\(\cos(60^\circ) = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c}\),

где a и b - стороны треугольника, \(c\) - искомая сторона (высота параллелепипеда).

Подставляя известные значения, получим:

\(\cos(60^\circ) = \frac{c^2 + 15^2 - 20^2}{2 \cdot 15 \cdot c}\).

Теперь, возведем оба основания в квадрат:

\(c^2 + 225 - 400 = 30c\).

Упростим это уравнение:

\(c^2 - 30c - 175 = 0\).

Чтобы решить это квадратное уравнение, можно воспользоваться методом дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -30\), \(c = -175\).

\(D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-175) = 900 + 700 = 1600\).

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня.

Находим корни уравнения путем применения квадратного корня к дискриминанту:

\(c_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Подставляя значения, получим:

\(c_{1,2} = \frac{-(-30) \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{30 \pm 40}{2}\).

Таким образом, получаем два возможных значения для высоты параллелепипеда:

\(c_1 = \frac{30 + 40}{2} = 35\),

\(c_2 = \frac{30 - 40}{2} = -5\).

Итак, мы нашли два значения для высоты параллелепипеда: 35 дм и -5 дм. Отрицательное значение не имеет физического смысла, поэтому мы выбираем положительное значение.

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда составляет \(V = a \cdot b \cdot c = 15 \cdot 20 \cdot 35 = 10,500\) дм³.