Каков периметр сечения плоскостью, проходящей через B и D параллельно ребру в правильной четырехугольной пирамиде SABCD

Pushok_6140

32

Чтобы найти периметр сечения плоскостью, проходящей через точки B и D параллельно одной из боковых граней пирамиды, нам необходимо знать форму сечения. Опишем этот процесс пошагово:

Шаг 1: Построим правильную четырехугольную пирамиду SABCD с заданными размерами. Основание этой пирамиды является правильным четырехугольником со стороной длиной 10 см. Ребро пирамиды равно 2√22 см.

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды. В правильной четырехугольной пирамиде высота является высотой боковой грани. Поделим боковое ребро на 2, чтобы найти половину высоты пирамиды. Так как боковое ребро равно 2√22 см, то высота пирамиды равна \(\sqrt{22}\) см.

Шаг 3: Найдем диагональ основания пирамиды. Правильное четырехугольное основание можно разделить на два равносторонних треугольника SAB и SCD. Внутри треугольника SAB, вспомним, что у нас есть равносторонний треугольник. Применим свойство равностороннего треугольника, и найдем длину диагонали основания: \(diagonal = \sqrt{3} \times side\), где side - длина стороны основания. В данном случае, длина стороны основания равна 10 см, поэтому диагональ составляет \(diagonal = \sqrt{3} \times 10 = 10\sqrt{3}\) см.

Шаг 4: Находим расстояние между точками B и D в плоскости. Для этого вспомним, что у нас есть прямоугольный треугольник, с гипотенузой равной диагонали основания (10√3 см), одной из сторон равной половине стороны основания (10/2 = 5 см), а неизвестной стороной - расстоянием между точками B и D. По теореме Пифагора: \(5^2 + \text{расстояние}^2 = (10\sqrt{3})^2\). Решаем это уравнение, получаем \(\text{расстояние} = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 - 5^2} = \sqrt{300 - 25} = \sqrt{275}\) см.

Шаг 5: Наконец, находим периметр сечения плоскостью через точки B и D, проходящую параллельно одной из боковых граней пирамиды. Периметр равен сумме длин сторон этого сечения. В данном случае, сечение является прямоугольником с длиной стороны равной расстоянию между точками B и D (\(\sqrt{275}\) см) и шириной, которая равна длине диагонали основания (\(10\sqrt{3}\) см). Периметр равен: \(2 \times (\sqrt{275} + 10\sqrt{3})\) см.

Таким образом, периметр сечения плоскостью, проходящей через точки B и D параллельно боковому ребру пирамиды SABCD, равен \(2 \times (\sqrt{275} + 10\sqrt{3})\) см.