Каков объем прямой призмы, у которой основание представляет собой прямоугольный треугольник со сторонами 3 и 4

Ясли

62

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для объема прямой призмы. Объем V прямой призмы вычисляется как произведение площади основания S и высоты h:

\[ V = S \cdot h \]

Для того чтобы найти высоту h, нам понадобится знание площади полной поверхности и формулу для вычисления площади полной поверхности прямой призмы.

Площадь полной поверхности прямой призмы состоит из суммы площадей всех ее боковых граней и площади основания. В данном случае, у нас есть прямоугольный треугольник в качестве основания и четыре прямоугольные боковые грани.

Площадь основания можно найти, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

\[ S = \frac{{a \cdot b}}{2} \]

Где a и b - длины катетов прямоугольного треугольника. В нашем случае, a = 3 см и b = 4 см, так что

\[ S = \frac{{3 \cdot 4}}{2} = 6 \, \text{см}^2 \]

Теперь нам нужно выразить высоту h через известные значения. Площадь полной поверхности (S₉) составляет 120 см². Зная, что у прямой призмы есть одна верхняя основа, одна нижняя основа и четыре боковых грани, мы можем записать уравнение:

\[ S₉ = 6 + 2 \cdot h \cdot (3 + 4) = 120 \, \text{см}² \]

Раскрывая скобки, получаем:

\[ 6 + 2 \cdot 7h = 120 \, \text{см}² \]

Упрощая уравнение, получаем:

\[ 6 + 14h = 120 \, \text{см}² \]

Вычитаем 6 из обеих частей уравнения:

\[ 14h = 114 \, \text{см}² \]

Делим обе части уравнения на 14 для вычисления высоты:

\[ h = \frac{114}{14} \, \text{см} \approx 8,14 \, \text{см} \]

Теперь мы можем вычислить объем, используя формулу:

\[ V = S \cdot h = 6 \, \text{см}² \cdot 8,14 \, \text{см} = 48,84 \, \text{см}³ \]

Ответ: Объем прямой призмы составляет приблизительно 48,84 см³.