Каков объём шара, который вписан в куб со стороной

Евгений

40

Хорошо, давайте решим задачу о вычислении объёма шара, который вписан в куб со стороной \(a\), с пошаговым объяснением.

Шар, вписанный в куб, означает, что каждая точка на поверхности шара касается сторон куба. Давайте обозначим радиус шара как \(r\). Также, поскольку все точки на поверхности шара касаются сторон куба, диаметр шара будет равен длине стороны куба, то есть \(2r = a\).

Шаг 1: Найдём радиус шара.
Разделим обе части уравнения на 2: \(r = \frac{a}{2}\).
Теперь у нас есть значение радиуса, которое мы будем использовать для расчёта объёма шара в следующем шаге.

Шаг 2: Найдём объём шара.
Формула для объёма шара в общем виде: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).
Подставим значение радиуса в формулу: \(V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3\).

Теперь мы можем упростить эту формулу и найти окончательный ответ.

Шаг 3: Выполним вычисления.
Возводим \(\left(\frac{a}{2}\right)^3\) в куб.
\(V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{a^3}{8}\).
Домножим числитель на \(\pi\): \(V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{a^3}{8}\).
Затем умножим числитель на \(\frac{4}{3}\): \(V = \pi \cdot \frac{4a^3}{3 \cdot 8}\).
Упростим дробь: \(V = \pi \cdot \frac{a^3}{6}\).

Теперь мы получили окончательное выражение для объёма шара, вписанного в куб:

\[V = \pi \cdot \frac{a^3}{6}\].

Это наш окончательный ответ. Обратите внимание, что мы использовали значения радиуса и стороны куба для получения такого результата.