Каков объём шарового сегмента, если его диаметр равен радиусу R шара?

Блестящий_Тролль_7922

44

Шаровой сегмент - это часть шара, ограниченная сферическим каплей и плоскостью, проходящей через диаметр шара. Чтобы найти объем такого сегмента, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдите объем шара с радиусом R. Объем шара выражается формулой \(\frac{4}{3} \pi R^3\).

2. Найдите объем конуса с высотой R и радиусом R. Объем конуса выражается формулой \(\frac{1}{3} \pi R^2 h\), где h - высота конуса. В данном случае, высота конуса равна радиусу R шара.

3. Найдите объем шарового сегмента путем вычитания объема конуса из объема шара.

Давайте выполним эти шаги подробнее:

1. Найдем объем шара. Подставим радиус \(R\) в формулу объема шара: \(\frac{4}{3} \pi R^3\).

2. Найдем высоту конуса. В данном случае, высота равна радиусу \(R\) шара.

3. Подставим значения радиуса и высоты конуса в формулу объема конуса: \(\frac{1}{3} \pi R^2 R\).

4. Теперь найдем объем шарового сегмента, вычтя объем конуса из объема шара. Получим выражение: \(\frac{4}{3} \pi R^3 - \frac{1}{3} \pi R^2 R\).

5. Упростим это выражение. Мы можем вынести общий множитель \(\frac{\pi R^2}{3}\) из обоих слагаемых: \(\frac{\pi R^2}{3} \cdot (4R - R)\).

6. Упрощаем дальше: \(\frac{\pi R^2}{3} \cdot 3R\).

7. Получаем окончательное выражение для объема шарового сегмента: \(\pi R^3\).

Таким образом, объем шарового сегмента равен \(\pi R^3\).