Знайти висоту конуса, якщо площа перерізу рівна 4 корінь з 3 см квадратних, через два твірні конуси, кут між якими

Пётр

16

Давайте решим данную задачу поэтапно.

Пусть \( S \) - площадь перереза конуса, \( h \) - его высота, \( r_1 \) и \( r_2 \) - радиусы перерезанных конусов, \( \alpha \) - угол между твёрдыми гранями образующих конусов, \( \beta \) - угол между плоскостью перерезания и плоскостью основания.

Обратимся теперь к геометрическим свойствам конуса. Площадь перерези по правилу подобия будет относиться к площади основания конуса так же, как квадрат высоты конуса относится к квадрату радиуса основания. То есть:

\[
\frac{S}{\pi r_1^2} = \left(\frac{h}{r_1}\right)^2
\]

\[
\frac{S}{\pi r_2^2} = \left(\frac{h}{r_2}\right)^2
\]

Учитывая, что \( r_2 = 2r_1 \) (так как косинус угла между сторонами случайной плоскости и основанием равен 0,5), получим:

\[
\frac{S}{\pi r_1^2} = \left(\frac{h}{r_1}\right)^2
\]

\[
\frac{S}{\pi (2r_1)^2} = \left(\frac{h}{2r_1}\right)^2
\]

Так как площадь перерези конуса составляет \( 4\sqrt{3} \), заменим значение \( S \) на \( 4\sqrt{3} \):

\[
\frac{4\sqrt{3}}{\pi r_1^2} = \left(\frac{h}{r_1}\right)^2
\]

\[
\frac{4\sqrt{3}}{\pi (2r_1)^2} = \left(\frac{h}{2r_1}\right)^2
\]

Выразим из первого уравнения \( h \) в квадрате:

\[
h^2 = \frac{4\sqrt{3}\cdot r_1^2}{\pi}
\]

Подставим значение \( h^2 \) во второе уравнение:

\[
\frac{4\sqrt{3}}{\pi (2r_1)^2} = \left(\frac{4\sqrt{3}\cdot r_1^2}{\pi}\right) \cdot \left(\frac{1}{2r_1}\right)^2
\]

\[
\frac{4\sqrt{3}}{\pi (2r_1)^2} = \frac{4\sqrt{3}\cdot r_1^2}{\pi \cdot 4r_1^2}
\]

Упростим уравнение:

\[
1 = 1
\]

Таким образом, ответ на нашу задачу: высота конуса равна \( \sqrt{\frac{4\sqrt{3}\cdot r_1^2}{\pi}} \) или, в более упрощенном виде, \( \sqrt{\frac{4\sqrt{3}}{\pi}}\cdot r_1 \).

Надеюсь, этот ответ был для вас понятен! Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, буду рад помочь!