Каков объем сосуда, в котором содержится 10 г газа под давлением 680 мм рт столба, если средняя квадратичная скорость

Лунный_Свет

34

Для решения данной задачи, используем уравнение состояния идеального газа:

\[PV = nRT\]

где:
P - давление газа (в паскалях),
V - объем газа (в кубических метрах),
n - количество вещества газа (в молях),
R - универсальная газовая постоянная (\(8.31 \, \text{Дж} / (\text{моль} \cdot \text{К}\))),
T - температура газа (в кельвинах).

Давление газа задано в миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.). Для перевода в паскали используем следующее соотношение:

\[1 \, \text{атм} = 101325 \, \text{Па}\]
\[1 \, \text{мм рт. ст.} = \frac{1}{760} \times 101325 \, \text{Па}\]

Таким образом, давление газа в паскалях равно:

\(P = \frac{1}{760} \times 101325 \, \text{Па} \times 680 \)

Теперь найдём количество вещества газа (n) с использованием формулы:

\[n = \frac{m}{M}\]

где:
m - масса газа (в граммах),
M - молярная масса газа (в г/моль).

Переведем заданную массу газа из граммов в килограммы:

\[m = 10 \, \text{г} = 0.01 \, \text{кг}\]

Теперь, найдем количество вещества газа:

\[n = \frac{0.01}{M}\]

Кроме того, средняя квадратичная скорость молекул газа (v) связана со средней кинетической энергией молекулы (Е) со следующим выражением:

\[v = \sqrt{\frac{{3kT}}{{m}}}\]

где:
k - постоянная Больцмана (\(1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}\)),
T - температура газа (в кельвинах),
m - масса молекулы газа (в килограммах).

Квадратичная скорость молекул задана, поэтому можем решить это уравнение относительно температуры:

\[T = \frac{{m \cdot v^2}}{{3k}}\]

Подставим данное значение скорости и найденную массу:

\[T = \frac{{0.01 \cdot (230)^2}}{{3 \cdot 1.38 \times 10^{-23}}}\]

Теперь, имея все необходимые значения, мы можем решить уравнение состояния и исключить n из уравнений:

\[PV = \left(\frac{{0.01}}{{M}}\right) \cdot RT\]

Подставим найденные значения и упростим выражение:

\[\left(\frac{{1}}{{760}} \times 101325 \times 680\right) \cdot V = \left(\frac{{0.01}}{{M}}\right) \times 8.31 \times T\]
\[\left(\frac{{1}}{{760}} \times 101325 \times 680\right) \cdot V = \left(\frac{{0.01}}{{M}}\right) \times 8.31 \times \left(\frac{{0.01 \cdot (230)^2}}{{3 \cdot 1.38 \times 10^{-23}}}\right)\]

Теперь, решим это уравнение относительно V:

\[V = \frac{{\left(\frac{{0.01}}{{M}}\right) \times 8.31 \times \left(\frac{{0.01 \cdot (230)^2}}{{3 \cdot 1.38 \times 10^{-23}}}\right)}}{{\left(\frac{{1}}{{760}} \times 101325 \times 680\right)}}\]

Итак, объем сосуда составляет: \[V = \frac{{\left(\frac{{0.01}}{{M}}\right) \times 8.31 \times \left(\frac{{0.01 \cdot (230)^2}}{{3 \cdot 1.38 \times 10^{-23}}}\right)}}{{\left(\frac{{1}}{{760}} \times 101325 \times 680\right)}}\]